Question

A、B、C是由密度為ρ=3.0×10³kg/m³的某種合金制成的三個實心球．A球的質量m_A=90g；甲和乙是兩個完全相同的木塊，其質量m_甲=m_乙=340g；若把B和C掛在輕質杠桿兩端，平衡時如圖1所示，其中MO：ON=3：1．若用細線把球和木塊系住，放入底面積為400cm²的圓柱形容器中，在水中靜止時如圖2所示．在圖2中，甲有一半體積露出水面，乙浸沒水中（水的密度為1.0×10³kg/m³，g取10N/kg，杠桿、滑輪與細線的質量以及它們之間的摩擦忽略不計）．

（1）甲木塊的體積是多少？
（2）求B和C的質量各為多少kg？
（3）若將A球與甲相連的細線以及C球與B球相連的細線都剪斷，甲和乙重新靜止后，水對容器底部的壓強變化了多少？

Answer 1

解：（1）G_甲=G_乙=m_甲g=340×10^-3kg×10N/kg=3.4N
G_A=m_Ag=90×10^-3kg×10N/kg=0.9N
V_A===0.3×10^-4m³
將甲、A看做一個整體，因為漂浮，則：
ρ_水g（+V_A）=G_甲+G_A
即：1.0×10³kg/m³×10N/kg×（+0.3×10^-4m³）=3.4N+0.9N
解得：V_甲=8×10^-4m³；
（2）由圖1知，杠桿杠桿平衡條件：
2m_Bg?ON=m_Cg?OM
∵MO：ON=3：1
∴2m_B×ON=m_C×3ON
則m_B=1.5m_C
由圖2知，乙、B、C懸浮在水中，將乙、B、C看做一個整體，則：
ρ_水g（V_乙+V_B+V_C）=G_乙+G_B+G_C
即：1.0×10³kg/m³×10N/kg×（8.0×10^-4m³++）=3.4N+m_B×10N/kg+m_C×10N/kg
則：1.0×10³kg/m³×（8.0×10^-4m³++）=0.34kg+1.5m_C+m_C
解得：m_C=0.276kg
m_B=1.5m_C=1.5×0.276kg=0.414kg
（3）若將線剪斷，則甲、乙漂浮在水面，A、B、C沉入水底；
以甲為研究對象，根據F_浮′=G
1.0×10³kg/m³×10N/kg×V_排′=3.4N
解得：V_排′=3.4×10^-4m³
所以△V_排=V_乙+-2V_排′=8.0×10^-4m³+-2×3.4×10^-4m³=5.2×10^-4m³
△h==0.013m
由于液面下降，所以壓強減小，則：
△p=ρ_水g△h=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.013m=130Pa
答：（1）甲木塊的體積是8×10^-4m³；
（2）B的質量為0.414kg；C的質量為0.276kg；
（3）甲和乙重新靜止后，水對容器底部的壓強減小了130Pa．
分析：（1）把甲和A看做一個整體，根據物體漂浮時，浮力與重力相等進行分析；
（2）根據杠桿平衡條件結合動滑輪的特點列出關系式；
根據圖2，將乙、B、C看做一個整體，根據懸浮時浮力與重力相等，列出關系式；
將兩個關系式聯立并代入已知條件便可求出；
（3）求出甲、乙漂浮在水面上時排開水的體積與原來相比，結合容器底的底面積求出水的液面高度的變化，根據公式p=ρ液gh求出壓強的變化．
點評：此題考查了杠桿平衡條件的應用及浮力公式的應用，解決此題的關鍵是掌握杠桿平衡條件，將圖2中的物體作為一個整體，根據浮力和重力相等的關系列出關系式，同時涉及到了密度的知識．