Question

小芳家里新買了一臺電熱水器，從“用戶手冊”中，她獲得了以下資料，請根據這些資料完成相應的計算：
（一）、外形尺寸（mm）

A	B	C	D	E	F
781	100	196	196	353	434

（二）、技術數據

額定功率/W	1000/1500/2500	額定電壓/Mpa	0.8
額定電壓/V	交流 220	容積/L	50
頻率/Hz	50	凈重/kg	19

（1）如圖為安裝示意圖，安裝時要將L形掛鉤用膨脹螺釘固定在承重墻上，上表是熱水器的部分數據，請估算L形掛鉤受到的最大向下拉力F及對應此時膨脹螺釘與承重墻體間的摩擦力f．
（2）這臺熱水器共有三擋加熱功率，銷售人員曾介紹說：熱水器內部有兩個加熱管．請你根據銷售人員的介紹，猜測并畫出內部加熱電路的主要結構（簡化的等效電路圖）．然后依據你的猜想，計算出每個加熱管的電阻值．
（3）產品說明書上標明：當達到設定溫度，停止加熱后，如果水溫降到低于設定溫度4℃時，熱水器將自動以設置功率將桶內的水加熱至設定溫度，如此反復直至手動停止加熱．小芳想到了國家提倡的峰谷電價制度的有關規定：2011年起，本地的分時電價為：峰時段（08：00～22：00）0.6元/度，谷時段（22：00～次日08：00）0.3元/度．她想，如果每天下午6點洗浴時需要把20℃的冷水加熱至50℃，可以下午直接加熱，也可以早晨8點前加熱好，讓熱水器自動保溫至下午6點，哪種方式更省錢呢？為此她利用熱水器提供的測溫功能測量了水溫從50℃降至46℃需要190分鐘，已知c_水=4.2×10³J/（kg?℃），請幫她通過計算做出哪種方式更省錢的判斷．

Answer 1

解：（1）電熱水器的總重：
G_總=m_電+ρ_水gV=19×10N/kg+1.0×10³kg/m³×50×10^-3m³×10N/kg=690N，
電熱水器掛在L形掛鉤上時，其受力情況如下：

掛鉤豎直方向：向上的拉力F和向下電熱水器的總重G_總，
水平方向：向右的支持力和向左膨脹螺釘的拉力，此時膨脹螺釘受到的拉力和摩擦力是一對平衡力；
因電熱水器靜止，所以沿豎直方向二力平衡，因此對L形掛鉤向下的拉力
F=G=690N；
因L形掛鉤靜止，電熱水器上端所受的水平向左的拉力等于膨脹螺釘所受的摩擦力；
以懸掛架下端為軸，把熱水器看成杠桿，則根據杠桿的平衡條件可得fD=G_總C，
f===690N．
（2）由熱水器的三檔位的數值關系猜測得熱水器加熱部分的等效電路圖如下圖所示：

其中加熱管R₁的額定功率為1000W，電熱管R₂的額定功率為1500W；
加熱管的電阻分別為：
R₁===48.4Ω，
R₂==≈32.3Ω．
（3）①忽略加熱過程的熱損失，直接加熱消耗的電能為：
W₁=Q₁=cm△t₁=4.2×10³J/（kg?℃）×50kg×（50℃-20℃）=6.3×10⁶J=1.75KW?h，
下午加熱的電費支出為：
0.6元/KW?h×1.75KW?h=1.05元；
②早晨8點前加熱，電費支出為：
0.3元/KW?h×1.75KW?h=0.525元；
加熱升溫4℃所需電能：
W₂=Q₂=cm△t₂=4.2×10³J/（kg?℃）×50kg×（50℃-46℃）=8.4×10⁵J，
加熱升溫4℃所需時間（設加熱功率為2500W）
t₁===336s=5.6min，（這段加熱時間可以忽略不計）
降低4℃所需時間為190min，至下午6點共需要三次加熱，消耗電能：
W₃=3W₂=3×8.4×10⁵J=2.52×10⁶J=0.7KW?h，
電費支出：
0.6元/KW?h×0.7KW?h=0.42元；
總支出：
0.525元+0.42元=0.945元，
所以，第二方案更省錢．
答：（1）L形掛鉤受到的最大向下拉力為690N，此時膨脹螺釘與承重墻體間的摩擦力為690N．
（2）內部加熱電路的主要結構如上圖所示，每個加熱管的電阻值分別為48.4Ω、32.3Ω．
（3）第二方案更省錢．
分析：（1）用銘牌可知電熱水器的凈重和容積，根據m=ρV和G=mg求出電熱水器的總重，然后對靜止的熱水器受力分析，根據二力平衡條件可知豎直方向對L形掛鉤向下的拉力；以懸掛架下端為軸，可以把熱水器看成杠桿，根據杠桿的平衡條件求出電熱水器上端所受的水平向左的拉力即膨脹螺釘所受的摩擦力．
（2）這臺熱水器共有三擋加熱功率且最大功率等于剩余兩功率之和據此可以猜想兩電熱管并聯，據此畫出等效電路圖；根據R=分別求出兩加熱管的電阻．
（3）忽略加熱過程的熱損失，根據W=Q=cm△t求出直接加熱消耗的電能，并求出下午加熱支出的電費；先求出早晨8點前加熱支出的電費，再根據W=Q=cm△t求出加熱升溫4℃所需電能和最大功率加熱時的時間，因時間很小可以忽略不計；降低4℃所需時間為190min，至下午6點共需要三次加熱，進一步求出三次消耗的電能和支出的電費，總電費等于這兩者之和；然后比較這中方案支出的電費即可判斷那種更經濟．
點評：本題考查了密度公式、重力公式、電功公式、二力平衡條件和杠桿平衡條件的應用，關鍵是公式和規律的靈活運用，難點是對L形支架正確的受力分析和根據檔位畫出等效電路圖以及明確兩種加熱方案中消耗電能的計算．