Question

【題目】小明的父親為了解決全家人夏季淋浴問題，想自己動手制作一個太陽能淋浴器。他買來了一個圓柱形金屬桶，一個壓力傳感開關，兩個圓柱體以及細線若干。初步設計如圖所示其中A、B兩個圓柱體通過細繩與壓力傳感開關相連。已知：圓柱形金屬桶的底面積S1＝0.5m2，高h1＝50cm；壓力傳感開關的作用是當它受到豎直向下的拉力達到10N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內注水，當拉力等于4N時斷開，水泵停止向桶內注水；兩個圓柱體的底面積

S2＝40cm2，高h2＝12cm，每個圓柱體重G＝6N．要求當水桶內儲水量達200L時停止注水，當儲水量剩余40L時開始注水。請你幫助小明的父親在其初步設計的基礎上，求出（壓力傳感開關與金屬桶間的距離、細繩質量與體積、計算儲水量時圓柱體排水體積忽略不計）；

（1）當壓力傳感開關與圓柱體A之間細繩上拉力等于10N時，進水口開始向桶內注水，此時兩圓柱體受到的浮力為多大？

（2）當水泵剛好停止向桶內注水時，圓柱A浸入水中的深度為多大？

（3）滿足上述要求的圓柱體A、B之間細線的長度？

Answer 1

【答案】（1）2N；（2）0.08m；（3）17cm。

【解析】

（1）根據二力平衡條件可以求出當停止注水和開始注水時，AB受到的浮力；

（2）根據公式F浮＝ρgV排求出AB排開水的體積，進一步求出AB浸入水中的深度，然后可求圓柱A浸入水中的深度；

（3）利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，

進而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度，此時桶內水面處于右圖位置2處，桶內水的體積V3＝40L，

根據h3＝得出水面2與桶底3之間的深度，可求圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9；

壓力傳感開關受到豎直向下的拉力達到4N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內注水。由于壓力傳感開關受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，可求圓柱體受到的浮力，利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，

進而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度、圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h5，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h8，此時桶內水面處于如圖的位置1處，桶內水的容積為V4＝200L，根據h4＝得出水面1與桶底3之間的深度，進而求出圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9，水面1到桶底6之間的長度h6，

最后求出，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度L1＝h6﹣h5，也就是圖中5與9之間的高度；

圓柱體A、B之間的繩子長度L2＝h4﹣h浸2﹣h7。

（1）當開始注水時，AB受到的浮力F浮1＝GA+GB﹣F1＝6N+6N﹣10N＝2N；

（2）停止注水時，AB受到的浮力為F浮2＝GA+GB﹣F2＝6N+6N﹣4N＝8N；

由F浮＝ρgV排可得，

此時排開水的體積為V排2＝=＝8×10﹣4m3；

浸入水中的深度為h＝＝=0.2m；

所以A浸入的深度為hA＝h﹣h2＝0.2m﹣0.12m＝0.08m；

（3）圓柱體排開水的體積：V排1＝=＝2×10﹣4m3＝200cm3，

圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：

h浸1＝＝＝0.05m＝5cm，

此時桶內水面處于右圖位置2處，桶內水的體積V3＝40L，

根據h3＝＝＝0.08m＝8cm得出水面2與桶底3之間的深度為8cm，

圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7＝h3﹣h浸1＝8cm﹣5cm＝3cm，

圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9＝h2﹣h浸1＝12cm﹣5cm＝7cm；

圓柱體排開水的體積：V排2＝=＝8×10﹣4m3＝800cm3，

圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：

h浸2＝＝＝20cm，

圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h5＝2h2﹣h浸2＝2×12cm﹣20cm＝4cm，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h8＝h2﹣h5＝12cm﹣4cm＝8cm，此時桶內水面處于如圖的位置1處，桶內水的容積為V4＝200L，根據h4＝＝＝0.4m＝40cm，

得出水面1與桶底3之間的深度為40cm，

圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7＝h3﹣h浸1＝8cm﹣5cm＝3cm，

圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9＝h2﹣h浸1＝12cm﹣5cm＝7cm；

水面1到桶底6之間的長度h6＝h1﹣h4＝50cm﹣40cm＝10cm，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度：

L1＝h6﹣h5＝10cm﹣4cm＝6cm，也就是圖中5與9之間的高度；

圓柱體A、B之間的繩子長度：L2＝h4﹣h浸2﹣h7＝40cm﹣20cm﹣3cm＝17cm。