Question

如圖為一水箱自動進水裝置．其中桿AB能繞O點在豎直平面轉動，OA=2OB，C處為進水管閥門，進水管口截面積為2厘米²，BC為一直桿，A點以一細繩與浮體D相連，浮體D是一個密度為0.4×10³千克/米³的圓柱體，截面積為10厘米²，高為0.5米．細繩長為1米．若細繩、桿、閥的重不計，當AB桿水平時正好能堵住進水管，且O點距箱底1米．問；
（1）若水箱高度h為3米，為防止水從水箱中溢出，進水管中水的壓強不能超過多少；
（2）若進水管中水的壓強為4.4×10⁴帕，則水箱中水的深度為多少時，進水管停止進水．（取g=10牛/千克）

Answer 1

解：（1）如圖受力分析：

由第一幅圖和第二幅圖可得：F₁=F₁′=F_浮-G=ρ_水gs₁h₁-ρ_柱gs₁h₁=（ρ_水-ρ_柱）gs₁h₁
=（1.0×10³kg/m³-0.4×10³kg/m³）×10N/kg×10×10⁴m²×0.5m=3N，
由F₁?0A=F₂?OB可得：
F₂′=F₂=2F₁=6N，
F₃=P_水S=ρ_水gsh=1.0×10³kg/m³×3m×2×10^-4m²=6N，
由第三幅圖可得：F=F₂′+F₃=6N+6N=12N，
進水管中水的壓強不能超過P_進===6.0×10⁴Pa．
（2）F′=P_進′S=4.4×10⁴×2×10^-4m²=8.8N，
由于水深3米對進水口壓力才為6N，故浮體起作用時設水深為h′則
2ρ_水gS₁（h′-2m）-2ρ_柱gS₁h₁+ρ_水gh′S=F′，
整理可得：h′=
=
≈2.4m．
答：（1）進水管壓強不超過6.0×10⁴Pa；
（2）水箱中水的深度為2.4m．
分析：（1）由題意可知，當水箱中的水恰好滿時進水管中水的壓強最大；分別對圓柱體、杠桿、進水管閥門受力分析，根據力的平衡條件和杠桿的平衡條件以及相互作用力的條件得出杠桿對進水管閥門的拉力；再根據F=Ps=ρgsh求出水箱中水對閥門的壓力，進一步根據力的平衡條件求出進水管中水對閥門的壓力，最后根據P=求出進水管中水的最大壓強．
（2）先根據F=Ps=ρgsh求出進水管中的水對閥門的壓力，根據水深3米對進水口壓力才為6N可知此時浮體起作用；根據阿基米德原理表示出此時浮體受到的浮力，根據力的平衡條件結合受力分析得出等式，解等式即可求出此時進水管停止進水時水箱中水的深度．
點評：此題綜合性很強，且難度很大；解答時，從分析受力分析入手，再將題目進行分解：浮力問題、杠桿平衡條件問題、壓強問題；將三類問題通過力有機的結合在一起，充分利用題目的已知條件，就可解答此題．