Question

（2013?海淀區一模）如圖所示，電源兩端電壓保持不變，R₁、R₂為定值電阻，開關S₃始終閉合．閉合開關S₁、斷開開關S₂，滑動變阻器的滑片置于某位置M時（圖中未標出），滑動變阻器的阻值為R_M，電流表的示數為I₁，滑動變阻器的電功率P_M為0.4W．保持開關S₁閉合、開關S₂斷開，將滑動變阻器的滑片置于某位置N時（圖中未標出），滑動變阻器的阻值為R_N，電流表的示數為I₂，電壓表的示數為U₁，滑動變阻器的電功率P_N仍為0.4W．斷開開關S₁、閉合開關S₂，滑動變阻器的滑片仍置于位置N時，電壓表的示數變為U₂．已知I₁：I₂=2：1，U₁：U₂=7：9．求：
（1）滑動變阻器接入電路的阻值R_M與R_N之比；
（2）定值電阻R₁與R₂的阻值之比；
（3）改變開關狀態和調節滑動變阻器的阻值，使電路的電功率最大，求出電路的最大電功率．

Answer 1

分析：分別畫出四種情況下（①當閉合開關S₁、斷開開關S₂，滑動變阻器的滑片在某位置M時；②當閉合開關S₁、斷開開關S₂，滑動變阻器的滑片在某位置N時；③當斷開開關S₁、閉合開關S₂，滑動變阻器滑片仍在某位置N時；④當電路消耗的電功率最大時）的等效電路圖，根據題目提供條件分別求解．

解答：解：
當閉合開關S₁、斷開開關S₂，滑動變阻器的滑片在某位置M時，等效電路如圖甲所示；
當閉合開關S₁、斷開開關S₂，滑動變阻器的滑片在某位置N時，等效電路如圖乙所示；
當斷開開關S₁、閉合開關S₂，滑動變阻器滑片仍在某位置N時，等效電路如圖丙所示；
當電路消耗的電功率最大時，等效電路如圖丁所示．

（1）∵P_M=I₁²R_M=0.4W，P_N=I₂²R_N=0.4W
∴

RM

RN

=

PM I 2 1

PN I 2 2

=

I 2 2

I 2 1

=

1

4

（2）由于電源電壓不變，I₁（R₁+R_M）=I₂（R₁+R_N）
∴

I1

I2

=

R1+RN

R1+RM

=

2

1

，
又∵

RM

RN

=

1

4

，
∴

R1

RM

=

2

1

，

R1

RN

=

1

2

，
在圖乙中，

U1

U

=

R1

R1+RN

=

1

3

，
又∵

U1

U2

=

7

9

，
∴

U2

U

=

3

7

在圖丙中，

U2

U

=

R2

R2+RN

=

3

7

，
∴

R2

RN

=

3

4

∴

R1

R2

=

2

3

；
（3）P_M=I₁²R_M=（

U

R1+RM

）²×R_M=

U2

9RM

=0.4W，
∴

U2

RM

=3.6W，
∵

R1

RM

=

2

1

，

R1

R2

=

2

3

，
∴

R2

RM

=

3

1

，
∴P=

U2

R1

+

U2

R2

=

U2

2RM

+

U2

3RM

=

5

6

×3.6W=3W．
答：（1）滑動變阻器接入電路的阻值R_M與R_N之比為1：4；
（2）定值電阻R₁與R₂的阻值之比為2：3；
（3）電路的最大電功率為3W．

點評：本題為較復雜的電路動態分析計算題，分析題意畫出四種情況下的等效電路圖是本題的關鍵．