Question

（2011?閘北區二模）如圖所示，體積相等、密度分別為的ρ_A、ρ_B的A、B兩個立方體正對疊放在水平桌面上，且ρ_A：ρ_B=1：3．A對B的壓強為p_A，B對桌面的壓強為p_B．
①如果A的體積為1.0×10^-3米³，密度為3×10³千克/米³，求A的質量、A對B的壓強．
②如果逐漸減小A的體積，但始終保持A的形狀為立方體且密度不變，在A的體積逐漸減小的過程中，列出p_A與p_B的比值的表達式，并指出比值的變化規律．

Answer 1

分析：（1）根據m=ρV求出物體A的質量；根據體積，求出物體的邊長，因放在水平面上物體的壓力和本身的重力相等，求出A對B的壓力，最后根據壓強公式求出A對B的壓強．
（2）固體能大小不變的傳遞壓力，所以B對地面的壓力等于A、B物體的重力，根據壓強公式表示出p_A與p_B的比值；利用極端假設法可知，當A的體積和B物體的體積相等時，比值最大；當A的體積為0時，比值最小，從而得出結論．

解答：解：（1）物體A的質量：
m=ρV=3×10³kg/m³×1×10^-3m³=3kg；
物體A的邊長：
h=

3	1.0×10-3m3

=0.1m
對地面的壓力：
F_A=G_A，
A對B的壓強：
p_A=

GA

SA

=

mAg

SA

=

ρA VAg

SA

=ρ_Agh_A=3×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=2940Pa；
（2）B對桌面的壓強：
p_B=

GA+GB

sB

=ρ_Bgh_B+ρ_Ag

h 3 A

h 2 B

所以出p_A：p_B=

ρAhA  h 2 B

ρB h 3 B +ρA h 3 A

=

hA h 2 B

3 h 3 B + h 3 A

，
若取x=

hA

hB

則上式可以表示為

1

3 x +x2

，且0≤x≤1
設0≤x₂＜x₁≤1，
則y=

3

x1

+x₁²-（

3

x2

+x₂²）=（x₂-x₁）（

3

x1x2

-x₂-x₁）＜0
所以y是減函數，

1

y

是增函數；
即在A的體積逐漸減小的過程中，p_A：p_B的數值在減小．
答：（1）A的質量為3kg；A對B的壓強為2940Pa；
（2）p_A與p_B的比值的表達式為

hA h 2 B

3 h 3 B + h 3 A

，在A的體積逐漸減小的過程中，p_A：p_B的數值在減小．

點評：本題考查了壓強大小的計算和密度公式的應用，關鍵是物體可以大小不變的傳遞壓力和水平面上物體的壓力和物重相等，難點是利用極端假設法判斷兩者的壓強之比．