Question

12．建筑工人使用如圖所示裝置，將質量分布均勻的長方體水泥板M吊起后放入水中．工人通過控制電動機A、電動機B，始終保持水泥板M所受拉力豎直向上．當電動機A對繩的拉力為零時，電動機A對地面的壓強為p₀；當水泥板M一端被豎直滑輪組拉起，另一端仍停在地面上，且水泥板M與水平地面成某角度時，電動機A對地面的壓強為p₁；當水泥板M被豎直滑輪組拉離地面時，電動機A對地面的壓強為p₂；當將水泥板M被懸掛著浸沒在水中時，電動機A對地面的壓強為p₃．已知：水泥板M的體積V_M為0.1m³，△p₁=|p₁-p₀|=5250Pa，△p₂=|p₂-p₀|=10250Pa，△p₃=|p₃-p₀|=5250Pa，不計繩重和軸摩擦．（g取10N/kg）求：
（1）豎直滑輪組中動滑輪的總重力G_動；
（2）水泥板M所受重力G_M；
（3）豎直滑輪組提拉水泥板M將其立起的過程中機械效率η．（結果保留兩位有效數字）

Answer 1

分析 （1）設電動機A的底面積為S，當水泥板M未拉離地面時，水泥板M可看做以未離地端為支點的杠桿，其所受重力和懸掛端拉力如圖1甲所示，動滑輪受力分析如圖1乙所示，電動機A受力分析如圖1丙所示．可得：T₁=$\frac{{G}_{M}}{2}$、4F₁=G_動+T₁、F₁=G_A-N₁=N₀-N₁=S•△p₁；
當水泥板M拉離地面尚未入水時，水泥板M受力分析如圖2甲所示，動滑輪受力分析如圖2乙所示，電動機A受力分析如圖2丙所示，可得T₂=G_M、4F₂=G_動+T₂、F₂=G_A-N₂=N₀-N₂=S•△p₂；
當水泥板M完全浸沒在水中時，水泥板M受力分析如圖3甲所示，動滑輪受力分析如圖3乙所示，電動機A受力分析如圖3丙所示，可得：T₃=G_M-F_浮、4F₃=G_動+T₃、F₃=G_A-N₃=N₀-N₃=S•△p₃，
知道水泥板的體積，利用阿基米德原理求水泥板浸沒在水中時受浮力，
以上聯立求得電動機A的底面積、F₁、F₂、F₃，進而求出動滑輪重；
（2）根據T₂=G_M、4F₂=G_動+T₂求水泥板M所受重力；
（3）求出T₁，利用效率公式求豎直滑輪組提拉水泥板M將其立起的過程中機械效率．

解答 解：（1）設電動機A的底面積為S，G_A=S×p₀=N₀，
當水泥板M未拉離地面時，對水泥板M、動滑輪、電動機A受力分析如圖所示：

T₁=$\frac{{G}_{M}}{2}$，----------①
4F₁=G_動+T₁----------②
F₁=G_A-N₁=N₀-N₁=S•△p₁----------③
當水泥板M拉離地面尚未入水時，水泥板M受力分析如圖2甲所示，動滑輪受力分析如圖2乙所示，電動機A受力分析如圖2丙所示；

T₂=G_M----------④
4F₂=G_動+T₂----------⑤
F₂=G_A-N₂=N₀-N₂=S•△p₂----------⑥
當水泥板M完全浸沒在水中時，水泥板M受力分析如圖3甲所示，動滑輪受力分析如圖3乙所示，電動機A受力分析如圖3丙所示；

T₃=G_M-F_浮----------⑦
4F₃=G_動+T₃----------⑧
F₃=G_A-N₃=N₀-N₃=S•△p₃----------⑨
水泥板M浸沒在水中時所受浮力：
F_浮=ρ_水gV_M=1×10³kg/m³×0.1m³×10N/kg=1×10³N，
由⑥式-⑨式：F₂-F₃=S（△p₂-△p₃），
⑤式-⑧式：4（F₂-F₃）=T₂-T₃，
④式-⑦式，T₂-T₃=F_浮，
解得：
4 S（△p₂-△p₃）=F_浮，
4S×（10250Pa-5250Pa）=1×10³N
所以S=0.05m²，
F₁=S△p₁=0.05m²×5250Pa=$\frac{525}{2}$N，
F₂=S•△p₂=0.05m²×10250Pa=$\frac{1025}{2}$N，
F₃=S△p₃=0.05m²×5250Pa=$\frac{525}{2}$N，
由①②得：
4F₁=G_動+$\frac{{G}_{M}}{2}$，
4×$\frac{525}{2}$N=G_動+$\frac{{G}_{M}}{2}$，
2100N=2G_動+G_M，------（10）
由④⑤得：4F₂=G_動+G_M，
4×$\frac{1025}{2}$N=G_動+G_M，
2050N=G_動+G_M，---------（11）
（10）式-（11）式得：G_動=50N，
（2）G_M=4F₂-G_動=2050N-50N=2000N，
（3）T₁=$\frac{{G}_{M}}{2}$=$\frac{2000N}{2}$=1000N；
η=$\frac{{W}_{有用1}}{{W}_{總1}}$=$\frac{{T}_{1}h}{（{G}_{動}+{T}_{1}）h}$=$\frac{{T}_{1}}{{G}_{動}+{T}_{1}}$=$\frac{1000N}{50N+1000}$≈95%．
答：（1）豎直滑輪組中動滑輪的總重力為50N；
（2）水泥板M所受重力為2000N；
（3）豎直滑輪組提拉水泥板M將其立起的過程中機械效率為95%．

點評 本題為力學綜合題，考查了重力公式、壓強公式、阿基米德原理、使用滑輪組拉力的計算，知識點多、綜合性強，能畫出受力示意圖幫助分析是解題的關鍵．