Question

演繹式探究：

現在，葉子和小雨要研究有關電場強弱的問題：
（1）電場強度：
我們知道，磁體周圍存在磁場；同樣，帶電體周圍存在電場．我們用電場強度E表示電場的強弱．在電場中各點E的大小一般是不同的，E越大，表示該點電場越強．不同點E的方向也一般不同．
如圖所示，若一個小球帶的電量為q，則與其距離為r的A點處的電場強度大小為E=k

q

r2

（k為常數），這說明距離帶電體越遠，電場越

 

．A點處E的方向如圖中箭頭所示．
（2）環形帶電體的電場強度：
如圖所示，有一個帶電均勻的圓環，已知圓環的半徑為R，所帶的總電最為Q．過圓環中心O點作一垂直于圓環平面的直線，那么在此直線上與環心相距為x的P點處的電場強度E_P的表達式是怎樣的呢？
小雨首先把圓環均勻分割為許多等份，每一等份的圓弧長度為△l，則每一等份的電量為

 

；每一等份可以看作一個帶電小球，則每一等份在P點所產生的電場強度的大小為E₁=

 

；E₁沿著OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=

 

．
E_P的大小等于圓環上所有等份的E_1x大小之和，即E_P=

 

．

Answer 1

分析：（1）由電場強度大小的公式直接判斷；
（2）①求出圓環的周長，再計算△L的弧上的電量；
②利用勾股定理得出點P的距離的平方，把△L的弧上的電量代入場強公式E=k

q

r2

可得P點所產生的電場強度的大小；
③利用三角形余弦公式計算E₁沿著OP方向的分量E_1x；
④E_P的大小是E_P=E_1x×

2πR

△L

．

解答：解：（1）據題意由電場強度大小的公式E=k

q

r2

可知，當r增大時E變小，所以距離帶電體越遠，電場越弱；
（2）①半徑為R的圓環的周長是2πR，圓弧長度為△L的弧上的電量為：△L×

Q

2πR

=

Q△L

2πR

；
②由勾股定理可知，△L處到點P的距離的平方：r²=R²+x²，
∴P點所產生的電場強度的大小為E₁=k

q

r2

=k×

Q△L 2πR

R2+x2

=k

Q△L

2πR(R2+x2)

，
③cos∠E₁PE_1x=

x

(R2+x2)  1 2

，
∴E₁沿著OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=

kQx△L

2πR(R2+x2)  3 2

，
④E_P的大小是：E_P=E_1x×

2πR

△L

=

kQx△L

2πR(R2+x2)  3 2

×

2πR

△L

=

kQx

(R2+x2)  3 2

，
故答案是：弱；

Q△L

2πR

；k

Q△L

2πR(R2+x2)

；

kQx△L

2πR(R2+x2)  3 2

；

kQx

(R2+x2)  3 2

．

點評：此題是一道實驗探究題，需要結合數學知識進行計算，屬于難題．