Question

如圖所示裝置中，杠桿和滑輪的重力及滑輪的摩擦均可忽略不計，杠桿AB可以繞O點在豎直平面內自由轉動，A端通過豎直方向的輕繩與滑輪組相連，在B端用一輕繩沿豎直方向將杠桿拉住，使其始終保持水平平衡．在滑輪組的下方，懸掛一圓柱形的物體，此物體被浸在圓柱形容器內的液體中．已知杠桿O點兩側的長度關系為AO=2OB，圓柱形物體的底面積為10cm²、高為12cm，圓柱形容器的底面積為50cm²．若容器中的液體為水，在水深為20cm時物體的上表面恰與水面相平，此時杠桿B端繩上的拉力為F₁；打開圓柱形容器下方的閥門K，將水向外釋放，直到物體露出水面的體積為其總體積的2/3時，將閥門K關閉，此時杠桿B端繩上的拉力為F₂，且F₁：F₂=3：5．若容器中液體為某種未知液體，其質量與最初容器中的水的質量相等，此時未知液體的深度為18cm，杠桿B端繩上的拉力為F₃．（取g=10N/kg）
求：
（1）圓柱形物體的密度；
（2）未知液體的密度；
（3）作用在B端的拉力F₃ 大小；（小數點后保留兩位）
（4）未知液體對圓柱形容器底部的壓強．

Answer 1

解：（1）設放水前后作用在A端繩子的拉力分別為F₁′、F₂′，圓柱體的體積為和密度分別為 V、ρ，則
F₁×OB=F₁′×OA
F₂×OB=F₄×OA
由上面兩個式子可得==3：5 ①
ρ_水Vg+3F₁′=G=ρVg ②
Vg+3F₂′=G=ρVg ③
聯立①②③得圓柱體的密度ρ=2ρ_水=2×1.0g/cm³=2g/cm³．
（2）水的體積是 V_水=50cm²×20cm-10cm²×12cm=880cm³，
未知液體的體積是 V=50cm²×18cm-10cm²×10cm=800cm³，
由于質量相等，ρ_水V_水=ρV，故未知液體的密度 ρ_液===1.1g/cm³．
（3）F₃=×（G-F_浮）=2×（2×10³kg/m³×10N/kg×10cm²×12cm×10^-6-1.1×10³kg/m³×10N/kg×10cm²×10cm×10^-6）=0.87N．
（4）P=ρ_液gh=1.1×10³kg/m³×10N/kg×0.18m=1980Pa．
答：（1）圓柱形物體的密度為2g/cm³；
（2）未知液體的密度為1.1g/cm³；
（3）作用在B端的拉力F₃ 大小為0.87N；
（4）未知液體對圓柱形容器底部的壓強為1980Pa．
分析：1、先根據杠桿平衡的條件計算出杠桿B端受力關系，然后根據重物受平衡力作用，對重物進行受力分析得出等量關系；各個關系式聯立求出密度；
2．先根據底面積和高求出體積，然后根據阿基米德原理確定質量相當，用密度和體積表示出質量關系即可求出液體的密度；
3．重物受重力、浮力和滑輪向上的作用力，根據杠桿平衡的條件和滑輪組的特點表示出作用在重物上的力，然后根據平衡列出等價關系式，解之即可；
4．直接利用液體壓強公式P=ρgh進行計算即可．
點評：本題考查浮力、密度、體積等的計算，關鍵是公式及其變形的靈活運用，難點是對物體進行受力分析，本題難度很大，解題時一定要認真仔細．