Question

我國是世界上第一個成功完成海底沉船整體打撈的國家，如圖1是“南海1號”沉船打撈出水的情況．所謂整體打撈，就是將沉船與其周圍泥沙按原狀固定在特殊的鋼制沉箱內一次性吊浮起運，沉箱是一種用金屬制成，形狀像箱子，下面沒有底，可以罩住整個沉船的設備．沉箱四周安放了氣囊，起吊過程氣體膨脹，產生巨大的浮力，起到助浮的作用．如圖2所示是與上述原理相似的簡化裝置：一個質量為11.7t的鋼制沉箱倒扣在深度H=20m的水底，箱內腔體的橫截面積S=10m²、高為L=4m，可忽略重力和體積的充氣裝置使箱內封入高h為0.5m的空氣．現用吊繩將沉箱打撈至水面，吊繩與滑輪組及電動機相連可控制沉箱勻速上升，ρ_鋼=7.8×10³kg/m³，ρ_海水取1×10³kg/m³，g=10N/kg，水的阻力、摩擦和繩重不計．問：
（1）沉箱倒扣在海底時，沉箱的上表面所受海水的壓強是多大？（此問不計沉箱上表面的厚度）
（2）若使沉箱能夠從海底被吊起，吊繩的拉力至少多大？
（3）沉箱上升至到達水面之前的過程中，因壓強減小箱內空氣體積增大，已知h為0.5m時，滑輪組的機械效率η₁=98%，那么當h為1m時，滑輪組的機械效率η₂是多少？（結果保留整數）
（4）假設腔內空氣的高度h一直未達到腔體的高度L，通過計算說明從起吊到沉箱上表面到達海面的過程中，電動機是否必須一直做功？

Answer 1

已知：ρ_海水=1×10³kg/m³ H=20m L=4m g=10N/kg m=11.7t=1.17×10⁴kg ρ_鋼=7.8×10³kg/m³ S=10m² h₁=0.5m η₁=98% h₂=1m
求：（1）p=？（2）F_最小=？（3）η₂=？（4）h₃=？
解：（1）沉箱倒扣在海底時，沉箱的上表面所受海水的壓強為p=ρ_海水gh=1×10³kg/m³×10N/kg×（20m-4m）=1.6×10⁵Pa；
（2）∵ρ=
∴沉箱在水底時，腔體壁與底占有的體積V₀===1.5m³
空氣占有的體積V=S?h₁=10m²×0.5m=5m³
∴沉箱受到的浮力F_浮1=ρ_水g（V₀+V）=1×10³kg/m³×10N/kg×（1.5m³+5m³）=6.5×10⁴N
所以拉動沉箱的最小的力F_最小=mg-F_浮1=1.17×10⁴kg×10N/kg-6.5×10⁴N=5.2×10⁴N；
（3）當h₁=0.5m時，η₁=98%，對應吊繩上的拉力F_最小=5.2×10⁴N
當h₂=1m時，對應此時空氣的體積V₂=S?h₂=10m²×1m=10m³
此時沉箱受到的浮力為F_浮2=ρ_水g（V₀+V₂）=1×10³kg/m³×10N/kg×（1.5m³+10m³）=11.5×10⁴N
吊繩上的拉力是F_較小=mg-F_浮2=1.17×10⁴kg×10N/kg-11.5×10⁴N=2×10³N；
由η==得：η₁=，η₂=，
將上述數據代入，解得：η₂=65%
（4）如果在到達水面前，h增加到h₃時，沉箱所受浮力等于沉箱的重力，
即1×10³kg/m³×10N/kg×（1.5m³+10m²×h₃）=1.17×10⁴kg×10N/kg
解得h₃=1.02m
之后浮力仍將進一步增大，所以電動機不一定需要一直做功．
答：（1）沉箱倒扣在海底時，沉箱的上表面所受海水的壓強是1.6×10⁵Pa；
（2）若使沉箱能夠從海底被吊起，吊繩的拉力至少為5.2×10⁴N；
（3）當h為1m時，滑輪組的機械效率η₂是65%；
（4）如果在到達水面前，h增加到1.02m時，沉箱所受浮力等于沉箱的重力，之后浮力仍將進一步增大，所以電動機不一定需要一直做功．
分析：（1）已知水的深度和沉箱的高度，可以得到沉箱上表面所在水的深度，已知水的密度和深度，利用公式p=ρgh計算沉箱上表面所受海水的壓強；
（2）沉箱被拉起的過程中，受到三個力的作用：重力、拉力和浮力．已知沉箱的質量，可以得到重力；要得到沉箱受到的浮力，需要知道沉箱排開海水的體積；
（3）沉箱上升過程中，應用水的壓強的減小，所以箱內空氣體積增大，沉箱排開水的體積增大，受到的浮力增大，已知沉箱重力和此時的浮力，可以得到此時的拉力；在前后兩次提升過程中，做的額外功都是克服動滑輪重做的功，根據機械效率的公式得到第二次的效率；
（4）沉箱在上升過程中，排開海水的體積一直增大，受到的浮力相應增大，當等于重力時，拉力為零；當浮力大于重力時，不需要拉力．
點評：此題以海上打撈沉箱為素材，設計了一道包含機械效率、滑輪組的特點、阿基米德原理的應用及重力與質量的關系、液體壓強的計算等內容的綜合性很強的力學題，覆蓋面廣，難度大，解決的前提是掌握扎實的基礎知識，能夠迅速的提取有價值信息．