Question

干簧管（也叫干簧繼電器）具有比一般機械開關結構簡單、體積小、工作壽命長等優點，如圖1為干簧管的結構示意圖． 其外殼是一根密封的玻璃管，管中裝有兩個鐵質的彈性簧片電板，還灌有一種惰性氣體．平時，玻璃管中的兩個由特殊材料制成的磁簧片是分開的．當有磁性物質靠近玻璃管時，在磁場的作用下，管內的兩個簧片被磁化而互相吸引接觸，簧片就會吸合在一起，使結點所接的電路連通．外磁力消失后，兩個簧片由于本身的彈性而分開，線路也就斷開了．因此，作為一種利用磁場信號來控制的線路開關器件．小美同學想用干簧管制作水位自動報警裝置，設計了一個裝置，其結構簡圖如圖23甲所示，當水面有微小變化，經裝置后都會將變化放大，進行報警．在調整過程中，當在繩子自由端施加一豎直向下的力F，使物體A浸沒在水中被勻速豎直向上吊起時，滑輪組裝置的機械效率為80%，已知物體A的體積為200cm³．小東同學為了使小美設計的裝置更穩定，在小美設計的裝置基礎上，增加了一個杠桿，其設計簡圖如圖2乙所示 （干簧管所在電路此處沒有畫出），當杠桿水平時，物體A有一半體積露在水面外，繩子自由端懸掛重3N的永磁鐵能使裝置平衡，磁鐵處于干簧管1和干簧管2水位報警器之間，當永磁鐵沿豎直方向離平衡位置，到達上或下干簧管時，電路報警器就響起，已知．當水箱內換盛其它某液體x時，要想使杠桿仍能在原液面處處于平衡狀態，起到報警作用，小東調節繩子自由端所掛永磁鐵的質量，當永磁鐵的質量為0.316Kg時，杠桿水平，裝置處于平衡狀態．本題中細繩和杠桿的質量、滑輪與軸的摩擦、液體對物體的阻力均忽略不計，g取10N/kg．求：
（1）物體A的密度是多少？
（2）所盛液體x的密度為多少？

Answer 1

解：
（1）圖甲所示，在調整過程中，當在繩子自由端施加一豎直向下的力，使物體A浸沒在水中被勻速豎直向上吊起時：
以物體A為研究對象，受力分析如右圖所示：G_A=F_浮1+T₁，即：ρ_AgV_A=ρ_水gV_A+T₁---------①
對滑輪組進行受力分析可得：3F₁=T₁+G_動
滑輪組的機械效率：---------②
T₁=T₁′
聯立①和②，代入已知可得：0.4×10^-3N?kg^-1?m³ρ_A-0.4N=0.8G_動---------③；
（2）如圖乙所示，裝置處于平衡狀態，
以物體A為研究對象，進行受力分析：G_A=F_浮2+T₂，即：---------④
以杠桿為研究對象：T'₂L_OC=T_D1L_OD---------⑤
對滑輪組進行受力分析可得：T'_D1+G_動=3F₂---------⑥
T₂=T₂′
聯立④⑤⑥代入已知可得：1.6×10^-2N?kg^-1?m³ρ_A-53N=5G_動---------⑦
聯立③和⑦式可得：G_動=1N，ρ_A=3×10³kg/m³；
（3）當換盛其它液體時，杠桿水平，裝置平衡時，
以物體A為研究對象，進行受力分析如右圖所示：G_A=F_浮3+T₃
---------⑧
以杠桿為研究對象：
T'₃L_OC=T_D2L_OD---------⑨
對滑輪組進行受力分析可得：T'_D2+G_動=3F₃---------⑩
T₃=T₃′
聯立⑧⑨⑩代入已知G_動=1N，ρ_A=3×10³kg/m³，
可得：ρ_x=0.7×10³kg/m³．
答：（1）物體A的密度是3×10³kg/m³，
（2）所盛液體x的密度為0.7×10³kg/m³．
分析：（1）在調整過程中，當在繩子自由端施加一豎直向下的力，使物體A浸沒在水中被勻速豎直向上吊起時，以物體A為研究對象，進行受力分析可得G_A=F_浮1+T₁，得關系式①ρ_AgV_A=ρ_水gV_A+T₁；對滑輪組進行受力分析可得3F₁=T₁+G_動
以及滑輪組的機械效率②η===80%，而T₁=T₁′，聯立①和②可得關于動滑輪重力的方程③（0.4×10^-3N?kg^-1?m³ρ_A-0.4N=0.8G_動）；
（2）如圖乙所示，裝置處于平衡狀態，以物體A為研究對象，進行受力分析G_A=F_浮2+T₂，得關系式④（），以杠桿為研究對象可得得關系式⑤（T'₂L_OC=T_D1L_OD），對滑輪組進行受力分析可得⑥
（T'_D1+G_動=3F₂），而T₂=T₂′，聯立④⑤⑥可得⑦1.6×10^-2N?kg^-1?m³ρ_A-53N=5G_動，聯立③和⑦式可得G_動、ρ_A；
（3）當換盛其它液體時，杠桿水平，裝置平衡時，以物體A為研究對象，進行受力分析G_A=F_浮3+T₃可得⑧（
），以杠桿為研究對象，得關系式⑨（T'₃L_OC=T_D2L_OD），對滑輪組進行受力分析可得⑩
（T'_D2+G_動=3F₃T₃=T₃′），聯立⑧⑨⑩求ρ_x．
點評：本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、阿基米德原理、杠桿平衡條件、效率公式的掌握和運用，能對物體進行正確的受力分析得出相關的關系式是本題的關鍵．