Question

【題目】如圖所示，薄壁輕質圓柱形容器甲和均勻實心圓柱體乙置于水平桌面上。甲容器高為3h，底面積為2S，內盛有深為2h的水；圓柱體乙高為4h，底面積為3S。

①若甲容器中水的體積為4×10﹣3米3，求水的質量m水；

②若h等于0.1米，求水對容器底部的壓強P水；

③現沿豎直方向在圓柱體乙上切去底面積為S的部分，并將切去部分豎直置于容器甲的水中后，自然靜止沉在容器底部，此時甲容器對水平桌面的壓強P容′與切去后的乙對水平桌面的壓強P乙′之比為5：8，求圓柱體乙的密度ρ乙。

Answer 1

【答案】①4kg；②1960Pa；③3.0×103kg/m3。

【解析】①由ρ=m/V知道，甲容器中水的質量是：m水=ρ水V水=1.0×103 kg/m3 ×4×10-3 m3 =4kg；

②當h=0.1m時，甲容器中水的深度是：h水 =2h=2×0.1m=0.2m，

水對容器底部的壓強是：p水=ρ水gh水=1.0×103 kg/m3 ×9.8N/kg×0.2m=1960Pa；

③根據題意知道，乙圓柱體的質量是：m乙=ρ乙V乙=ρ乙S乙h乙=ρ乙×3S×4h=12Shρ乙 ，沿豎直方向在圓柱體乙上切去底面積為S的部分后，截取部分的質量是：m截取=1/3m乙 =1/3×12Shρ乙=4Shρ乙，乙剩余部分的質量是：m剩乙=2/3m乙=2/3×12Shρ乙=8Shρ乙，

因為水平面上物體的壓力和自身的重力相等，所以，乙對水平桌面的壓強是：

p乙′=F乙剩/S乙剩=G乙剩/S乙剩=G乙剩g/S乙剩=8Shρ乙g/2S=4ρ乙gh，

甲容器的容積是：V甲=S甲h甲=2S×3h=6Sh，

甲容器中水的體積是：V水甲=S甲h水′=2S×2h=4Sh，

將切去部分豎直置于容器甲的水中后，若容器甲恰好不溢水，則需要水的體積是：V水′=V甲 -V切浸=V甲-Sh甲=6Sh-S×3h=3Sh，

因為V水甲＞V水′，所以水有溢出，則甲容器內剩余水的體積是：V剩水=（S甲-S）h甲 =（2S-S）3h=3Sh，

故剩余水的質量是：m剩水=ρ水V剩=ρ水×3Sh=3Shρ水 ，

因為水平面上物體的壓力和自身的重力相等，且甲容器的重力忽略不計，

所以，甲對水平桌面的壓強是：p容′=F容/S甲=G剩水+G截取/S甲=m剩水g+m截取g/S甲=3Shρ水g+4Shρ乙g/2S=1.5ρ水 gh+2ρ乙gh，

由p容′：p乙′=5：8知道，p容′/p乙′=1.5ρ水gh+2ρ乙gh/4ρ乙gh=5/8，整理得：ρ乙 =3ρ水 g=3×1.0×103 kg/m3 =3.0×103 kg/m3。