Question

某科技小組的同學們設計制作了一個多擋位電熱器模型，為了分析接入電路的電阻對電熱器電功率的影響，他們將電表接入電路中，如圖所示．當只閉合開關S₁時，電壓表和電流表的示數分別為U₁和I₁，電阻R₃消耗的電功率為P₃；當只閉合開關S₂時，電壓表和電流表的示數分別為U₂和I₂，電阻R₃消耗的電功率為P₃′，并測得此時R₂消耗的電功率為l．6W，已知U₂=2U₁，P₃=4P₃′．電源電壓、電阻保持不變．
（1）求電阻R₁與R₂的比值；
（2）通過撥動開關，可以使電路消耗的電功率最大，請計算電路消耗的最大電功率．

Answer 1

（1）只閉合S₁時，R₁和R₂串聯，等效電路圖如圖1所示；只閉合S₂時，R₂和R₃串聯，等效電路圖如圖2所示．



∵P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
∴

P3

P′3

=

I21R3

I22R3

=（

I1

I2

）²=

4

1

，
解得：

I1

I2

=

2

1

，
∵I=

U

R

，且U₁：U₂=1：2，
∴

U1

U2

=

I1R1

I2R2

=

I1

I2

×

R1

R2

=

2

1

×

R1

R2

=

1

2

，
解得：

R1

R2

=

1

4

；
（2）∵電源的電壓不變，
∴

I1

I2

=

R2+R3

R1+R3

=

4R1+R3

R1+R3

=

2

1

，
解得：R₃=2R₁，R₂=2R₃，
圖2中：I₂=

U

R2+R3

=

U

R2+ 1 2 R2

=

2U

3R2

，
P₂=I₂²R₂=（

2U

3R2

）²×R₂=

4

9

×

U2

R2

=1.6W，
即

U2

R2

=3.6W，
當S₁、S₂、S₃都閉合時，R₁和R₂并聯，此時R_總最小，電路的總功率最大．



∵并聯電路中各支路兩端的電壓相等，
∴電路消耗的最大功率：
P=P₁+P₂′=

U2

R1

+

U2

R2

=

U2

1 4 R2

+

U2

R2

=5×

U2

R2

=5×3.6W=18W．
答：（1）電阻R₁與電阻R₂的比值為1：4；
（2）電路消耗總功率最大，最大為18W．