Question

如圖：AB為一根均勻輕質桿，桿的中點O點懸掛在天花板上，在桿的A端懸掛有一端開口、粗細均勻、重2N的薄壁玻璃管，管長L=40cm，管底面積S=20cm²，管中裝滿水后倒扣在裝有水深h=10cm的水槽中，玻璃管管口剛好被水面淹沒，在杠桿的B端通過滑輪組用輕質細繩相連，動滑輪下端掛有一個鉤碼，在滑動組的另一端細繩上掛有一體積為10³cm³的實心均勻圓球，當圓球體積的一半浸沒在水中時，杠桿恰好在水平位置平衡．已知大氣壓強P₀=10⁵Pa，動滑輪重1N，細繩的重量和細繩與滑輪間的摩擦忽略不計，g=10N/kg． 求：
（1）鉤碼重多少牛頓？
（2）圓球的密度是多少kg/m³？
（3）假如大氣壓強逐漸減小到零的過程中，杠桿還能平衡嗎？若不平衡，怎樣傾斜，請分析說明．

Answer 1

解：（1）玻璃管A處于平衡狀態，所以受到平衡力的作用，即向下的大氣壓力、玻璃管的重力與杠桿對A向上的拉力、大氣壓通過管內水柱對其向上的壓力相互平衡；
由此可得：P₀S+G_玻-（P₀S-ρ_水gLS）=F_A，即：10⁵Pa×2×10^-3m²-2N-（10⁵Pa×2×10^-3m²-10³kg/m³×10N/kg×0.4m×2×10^-3m²）=F_A．
求得：F_A=10N，
又因為杠桿處于平衡狀態，所以F_A?OA=F_B?OB，又OA=OB
所以F_B=F_A=10N，
根據動滑輪的省力公式：F_B=（G_動+G_鉤）
變形得：G_鉤=2F_B-G_動=2×10N-1N=19N．
（2）由圓球處于平衡狀態得：G_球=F_浮+F_繩
由于是同一根繩子，所以F_繩=F_B=10N，
即：ρ_球gV_球=ρ_水g+F_B；
代入數據：ρ_球×10N/kg×10^-3m³=10³kg/m³×10N/kg×0.5×10^-3m³+10N，
求得：ρ_球=1.5×10³kg/m³．
（3）玻璃管處于平衡狀態時：P₀S+G_玻-（P₀S-ρ_水gLS）=F_A，
化簡得：G_玻+ρ_水gLS=F_A，
其中的ρ_水gLS是由于大氣壓造成的，因此：
當①當P₀≥ρ_水gL時，F_A=G_玻+ρ_水gLS=10N，杠桿仍平衡．
當②當P₀＜ρ_水gL時，F_A=G_玻+P₀S＜10N，杠桿失去平衡，B端下降．
答：（1）鉤碼重19N；（2）圓球的密度是1.5×10³kg/m³．（3）不再平衡，將向B端傾斜．
分析：（1）鉤碼的重力可以利用作用在杠桿B端的拉力結合動滑輪的重力，利用動滑輪的省力公式：F_B=（G_動+G_鉤）來求得．而作用在B端的拉力可以利用杠桿的平衡條件去求得．
因此首先要知道作用在杠桿A端的力，這個力是由玻璃管提供的，從玻璃管現在所處的狀態入手，求出作用在A端的力，從而可以解決此題．
（2）告訴了圓球的體積，要求圓球的密度，因此首先要求得圓球的重力．從圓球對動滑輪的拉力來求得圓球的重力．
（3）大氣壓的變化，決定了玻璃管受到的力的變化，只要玻璃管還處于平衡狀態，杠桿就保持平衡，因此從玻璃管受力的情況的平衡方程，結合大氣壓的變化入手分析即可解決此題．
點評：此題涉及了：浮力的計算、杠桿的平衡條件、動滑輪的省力情況、大氣壓強、壓力的計算等多個知識點．過程復雜，要求學生要有較強的邏輯思維能力．
解決此題時，可以從未知量入手分析，直到已知量為止．
能夠根據物體處于平衡狀態，得到力的方程是解決此題的關鍵．