Question

小明同學將彈簧測力計下懸掛一均勻實心金屬圓柱體，再將圓柱體浸在液體中，分別研究彈簧測力計示數與液體密度、物體在液體中深度的關系．實驗時，他把圓柱體浸沒在不同液體中，分別記下了彈簧測力計的示數，測得實驗數據如表1．然后把圓柱體浸在同種液體中，通過改變液面到圓柱體底部的距離，記下彈簧測力計的示數，測得實驗數據如表2．
表1：

液體ρ（103體千克/米3）	1.2	1.8	2.0	2.2	2.4	2.5
彈簧測力計示數F（牛）	7.5	4.5		2.5	1.5	1.0

表2：

液面到金屬塊底部距離h（米）	0	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
彈簧測力計示數F（牛）		11.1	9.9	8.7	7.5	7.5

根據實驗數據，回答下列問題．
（1）根據表1、表2中的實驗數據，請通過計算，分析完成表1和表2中的空格填寫．
（2）在圖1中，能正確反映表1中彈簧測力計示數與液體密度之間關系是圖1中的

A

．
（3）這只掛有金屬圓柱體的彈簧測力計可改裝為一只密度計．請在圖2中標出該密度計的零刻度位置．其分度值為

100kg/m³

．
（4）該金屬體的底面積為多少平方米？（要求寫出完整的解答過程）
（5）在研究彈簧測力計示數與液體密度關系時，不液體密度為3.0×10³×kg/m³時，測得彈簧測力計的示數為0，請說明產生此現象的原因：

圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態

．
（6）表2中液體的密度為：

1.2×10³kg/m³

．
（7）通過分析表2，是否能得出：反映彈簧測力計示數與金屬塊浸在液體中體積之間的規律？若能，可能用什么表達式來表達？若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓柱體的重力和測力計的示數可以表示出圓柱體浸入液體中受到的浮力；同時用阿基米德原理表示出其在同一種液體中受到的浮力，兩個浮力相等，即可得到物體的重力和體積的關系式．從此入手可以求出圓柱體的重力和體積．
進而利用阿基米德原理結合第三種液體的密度圓柱體在其中受到的浮力，從而可以求出此時測力計的示數．
（2）根據阿基米德原理可以確定在排開液體體積不變的情況下，物體受到的浮力與所在液體的密度的關系，進而確定圖象．
（3）當圓柱體沒有浸入液體中時，此時測力計的指針對應的位置為改制成的密度計的零刻度值．由此即可確定其零刻度的位置．
密度計的分度值是由測力計的分度值來決定的，即當物體受到的浮力 變化為測力計的分度值（0.5N）時，求出圓柱體所在的液體的液體密度的變化值即為分度值．
（4）利用表2中的數據，結合圓柱體的重力和體積，利用阿基米德原理求出所在液體的密度；然后利用圓柱體浸入某一深度時受到的浮力，利用阿基米德原理求出此時圓柱體排開的液體體積，再利用柱體的體積計算公式求出其橫截面積．
（5）測力計的示數為零，說明此時物體受到的浮力與重力相等，即，物體處于漂浮或懸浮狀態．由此即可確定物體的密度與所在液體密度的大小關系．
（6）在第四問中已解決．
（7）將測力計的示數表示出來即可．

解答：解：（1）設圓柱體的體積為V，受到的重力為G．
圓柱體在第一種液體中受到的浮力：F₁=G-7.5N，可以用阿基米德原理表示為：F₁=ρ₁gV，兩者聯立得：G-7.5N=ρ₁gV    ①，
圓柱體浸沒在第二種液體中時，同理可得：G-4.5N=ρ₂gV    ②
將表1中的液體密度代入得：G-7.5N=1.2×10³kg/m³×10N/kg×V   ③
G-4.5N=1.8×10³kg/m³×10N/kg×V  ④
解得：G=13.5N，V=5×10^-4m³．
當物體浸沒在第三種液體中時，圓柱體受到的浮力：F₃=ρ₃gV=2×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-4m³=10N．
此時測力計的示數為：F=G-F₃=13.5N-10N=3.5N．
在表格2中，當圓柱體的下表面據液面的距離為零時，此時物體不受浮力，此時測力計的示數等于物體的重力為13.5N．
在表格2中，當圓柱體的下表面據液面的距離從0.5m開始，圓柱體浸沒入液體中，所以其在為0.7m時所受的浮力與在0.5m時相同，故測力計的示數不變仍為7.5N．7．
（2）在物體排開液體的體積不變時，根據阿基米德原理可知，物體受到的浮力與所在液體的密度成正比，而浮力越大，彈簧測力計的示數F就越小，且過原點．故其圖象應該選A．
（3）當圓柱體沒有進入液體中時，此時測力計的指針對應的刻度是改制成的密度計的零刻度．由于圓柱體沒有浸入液體中，所以其不受浮力，此時圓柱體對測力計的拉力就等于圓柱體的重力，故為13.5N，所以測力計上刻度為13.5N對應的位置為密度計的零刻度值．答案如圖所示．
測力計上的最小刻度值對應著改制成的密度計的分度值．由于圓柱體浸沒在液體中，所以其排開的液體的體積不變，其受到的浮力變化是由液體的密度變化引起的．由此可以確定當浮力變化值最小為0.5N（測力計的分度值）時對應的是液體密度的變化的最小值，即分度值．
即：0.5N=ρ_分gV=ρ_分×10N/kg×5×10^-4m³，
解得：ρ_分=100kg/m³．

（4）根據表2中的數據可知，當液面到金屬塊底部距離h為0.5米時，隨著h的增大，測力計的示數為7.5N不再變化，所以此時的圓柱體已經浸沒如液體中，即V_排=V．
浸沒時圓柱體受到的浮力：F=G-7.5N=13.5N-7.5N=6N，再結合圓柱體的體積V=5×10^-4m³．
利用阿基米德原理可以求出液體的密度：ρ=

F

gV

=

6N

10N/kg×5×10-4m3

=1.2×10³kg/m³；
當圓柱體第一次浸入液體中，液面到金屬塊底部距離h=0.2米時，受到的浮力為：F′=G-11.1N=13.5N-11.1N=2.4N．
此時物體排開液體體積為：V′=

F′

ρg

=

2.4N

1.2×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-4m³，
結合圓柱體浸入液體中的深度h=0.2m，由此可以求得圓柱體的橫截面積：S=

V′

h

=

2× 10-4m3

0.2m

=1×10^-3m²．
（5）根據圓柱體的重力和體積可以求得圓柱體的密度：ρ=

G

gv

=

13.5N

10N/kg×5×10-4m3

=2.7×10³kg/m³；
當液體密度為3.0×10³×kg/m³時，此時圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態，故測力計的示數為零．
（6）在第四問中求得液體密度為：1.2×10³kg/m³；
（7）根據阿基米德原理可以得到物體受到的浮力與物體浸入液體中體積的關系：F_浮=ρgV_排，
測力計的示數F_拉=G-F_浮=G-ρgV_排=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）
故答案為：（1）3.5；13.5；7.5；（2）A；（3）圖見上圖；100kg/m³；（4）1×10^-3m²．（5）圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態；（6）1.2×10³kg/m³；
（7）F_拉=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）

點評：此題的綜合性非常強，主要針對浮力的計算進行了考查．其中對于阿基米德原理進行了反復考查．
將表格中的數據與操作過程對應起來是此題的難點