Question

【題目】某工廠設計了一個蓄水池，如圖25所示，水源A罐的液面高度h1=3m，且保持不變．罐底有一個小出水口，面積為S1，S1=0.1m2．孔下通過一個截面積為S2活塞與杠桿BC相連，S2=0.24m2．杠桿可繞B端上下轉動，另一端有一個中空的圓柱體浮子，橫截面積為S3，S3=0.8m2，BO是杠桿總長的．原設計打算當杠桿水平時，浮子浸入水深為h2，h2=0.7m，活塞恰好能賭住出水口，但在使用時發現，活塞離出水口尚有一小段距離△h時，浮子便不再上浮，此時浮子浸入水深為h3，h3=1m，為了使活塞自動堵住出水口，只得將浮子的質量減去一部分，設減去的質量為m′．（g取10N/kg，杠桿水平時，認為BO仍是杠桿總長的，活塞及連桿和杠桿的質量均不計，杠桿所受浮力不計，浮子浸入水中體積變化引起的蓄水池液面變化忽略不計，ρ水=1×103kg/m3）試求

（1）按原設計活塞堵住出水口后，活塞受到水的壓力為多大？

（2）求△h是多少？

（3）浮子應減去質量m′是多少？

Answer 1

【答案】（1）按原設計活塞堵住出水口后，活塞受到水的壓力為3×103N；

（2）△h是0.1m；

（3）浮子應減去質量m′是92kg．

【解析】

試題分析：（1）利用p=ρgh計算活塞受到水的壓強，然后利用p=計算活塞受到水的壓力；

（2）活塞上升的高度即為O點上升的距離．杠桿由原來的位置到水平位置，浮子進入水中的深度由現在的深度h3上升到設計的h2，同時O點上升到D點．通過兩次位置的變化，得到一對相似三角形，利用相似形的對應邊成比例可以求得OD的長度，即活塞上升的高度．

（3）以傾斜的杠桿為研究對象，分析出對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯系在一起，求得浮子原來的重力．

以水平的杠桿為研究對象，分析出此時對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯系在一起，求得浮子現在的重力．

兩次重力之差即為減去的浮子的重力，從而得到減去的浮子的質量．

解：（1）按原設計活塞堵住出水口時，活塞到A罐水面的高度h1=3m，

活塞受到水的壓強：p1=ρ水gh1=1.0×103kg/m3×10N/kg×3m=3×104Pa，

活塞受到水的壓力：F=p1S1=3×104Pa×0.1m2=3×103N；

（2）設浮子原來重力為G，杠桿平衡時處于傾斜狀態，如圖甲所示，

當杠桿由傾斜狀態變為水平狀態時，杠桿C端上升高度為hEC=h3﹣h2，

根據幾何知識可知，△BDO相似于△BEC，

所以，==，==，

活塞上升高度△h=hDO====0.1m；

（3）①浮子減重前，根據上圖可知，活塞到A罐水面的高度h′=h1+△h=3m+0.1m=3.1m．

此時O點受到的力：F壓=ρ水gh′S2=103kg/m3×10N/kg×0.24m2×3.1m=7440N，

浮子受浮力和重力，設它們的合力為F合，方向豎直向上（只有浮子的合力方向向上時才能使杠桿平衡）．

根據杠桿平衡條件有：F合LBE=F壓LBD，

所以

根據題意可知，此時浮子浸入水深為h3，此時浮子受到的浮力：

×0.8m2×1m=8000N

杠桿平衡時，以浮子為研究對象，浮子受到的合力F合=F浮﹣G，

則浮子原來的重G=F浮﹣F合=8000N﹣2480N=5520N．

②浮子減重后，杠桿平衡時，如圖所示

活塞能堵住出水口，由1小題可知，O點受到的力F壓′=3000N．

浮子減重后，設此時浮子受到的合力為F合′，

根據杠桿平衡條件有：F合′×LBC=F壓′×LBO，

所以F合′=

根據題意可知，此時浮子浸入水深為h2，此時浮子受到的浮力：

F浮′=ρ水gS3h2=103kg/m3×10N/kg×0.8m2×0.7m=5600N

浮子減重后，設浮子的重為G1，

杠桿平衡時，以浮子為研究對象，浮子受到的合力F合′=F浮′﹣G1．

則浮子現在的重G1=F浮′﹣F合′=5600N﹣1000N=4600N

所以，浮子減去的重G′=G﹣G1=5520N﹣4600N=920N

浮子減去的質量m′===92kg．

答：（1）按原設計活塞堵住出水口后，活塞受到水的壓力為3×103N；

（2）△h是0.1m；

（3）浮子應減去質量m′是92kg．