Question

如圖所示，工人站在水平地面，通過滑輪組打撈一塊沉沒在水池底部的實心金屬物體A。工人用力將物體A豎直緩慢拉起，在整個提升過程中，物體A始終以0.1m/s的速度勻速上升。物體A沒有露出水面之前滑輪組的機械效率為η₁，工人對水平地面的壓強為p₁；當物體A完全露出水面之后滑輪組的機械效率為η₂，工人對水平地面的壓強為p₂。若物體A重為320N，動滑輪重40N，工人雙腳與地面的接觸面積是400cm²，p₁－p₂=250Pa，繩重、水的阻力及滑輪輪與軸間的摩擦均可忽略不計，g取10N/kg，求：

（1）當物體A剛離開底部，受到水的浮力；
（2）金屬A的密度；
（3）當物體A完全露出水面以后，人拉繩子的功率；
（4）η₁與η₂的比值。

Answer 1

（1）40N  （2） 8×10³kg/m³    （3） 36W     （4） 63∶64

試題分析：(1)工人站在水平地面，受到重力G_人、地面支持力F_支和繩子拉力F_拉，且工人靜止，可以得到：
F_支＋F_拉＝G_人
F_支和F_壓是相互作用力，大小相等；F_拉和人拉繩子的力F（兩次拉力分別用F₁和F₂表示）是相互作用力，大小相等，可以得到：F_壓＝G_人－F
人對地面的壓強P=F_壓/S ，則P₁＝（G_人－F₁）/S    P₂＝（G_人－F₂）/S
P₁－P₂＝[（G_人－F₁）/S]－（G_人－F₂）/S ="(" F₂－F₁)/S
由已知：(F₂－F₁)/ 400×10^－4m²＝250Pa 解出：F₂－F₁＝10N    ①                               
在水中時，動滑輪受到重力G_動、物體A對繩子的拉力F_A1和4根繩子拉動滑輪的力4F₁，由動滑輪做勻速直線運動，可以得到：4F₁=G_動＋F_A1
物體A受到重力G_A、浮力F_浮和繩子拉力F_A1^/，由物體A勻速直線運動，得到：G_A＝F_浮＋F_A1^/
F_A和F_A^/是相互作用力，大小相等，由兩式可得：
4F₁＋F_浮＝G_動＋G_A ②
同理：在水面時上，動滑輪受到重力G_動、物體A通過繩子的拉力F_A2和4根繩子拉動滑輪的力4F₂，由動滑輪做勻速直線運動，可以得到：4F₂＝G_動＋F_A2
物體A受到重力G_A、繩子拉力F_A2^/，由物體A勻速直線運動，得到：G_A＝F_A2^/
F_A2和F_A2^/是相互作用力，大小相等，由兩式可得：
4F₂＝G_動＋G_A   ③                                        
由②、③式可以得到：4（F₂－F₁）＝F_浮
代入①式，得到F_浮＝4（F₂－F₁）＝4×10N＝40N               
（2）根據阿基米德原理，F_浮＝ρ_水·V_排·g
得：物體A的體積V_A＝V_排＝F_浮/(ρ_水·g)=40N/(10³kg/m³×10N/kg)＝4×10^－3m³
物體A的質量m_A＝G_A /g＝320N/10N/kg =32kg
物體A的密度ρ_A＝m_A/V_A＝32kg/4×10^－3m³＝8×10³kg/m³                        
（3）物體A在水面上勻速直線運動時，4F₂＝G_動＋G_A =40N＋320N=360N，F₂＝90N
人拉力的功率為p_人＝F₂ ·4v_A＝90N×4×0.1m/s＝36W            
（4）物體A在水面下和水面上的效率分別為：η₁和η₂
根據機械效率公式，η＝W_有/W_總
η₁＝（G_A－F_浮）h/4h·F₁＝（G_A－F_浮）/( G_A＋G_動 －F_浮）＝（320N－40N）/(320N＋40N－40N)＝7/8
η₂＝G_Ah/4h·F₂＝G_A /( G_A＋G_動) =320N/(320N＋40N)＝8/9
η₁∶η₂＝7/8∶(8/9)＝63∶64