Question

在平面直角坐標系中, 拋物線+與直線交于A, B兩點，點A在點B的左側.
(1)如圖1，當時，直接寫出A，B兩點的坐標；
(2)在(1)的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；
(3)如圖2，拋物線+ 與軸交于C，D兩點（點C在點D的左側）.在直線上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由.

圖1                                   圖2

Answer 1

（1）A(-1,0) ，B(2,3)
（2）△ABP最大面積s=;   P（,-）
（3）存在；k=

試題分析：（1）將兩個解析式聯立組成方程組，解方程組即得
要想△ABP的面積最大，則要在要求的拋物線上找到一個點P，使點P到直線AB的距離最大，這時過點P且與AB平行的直線與拋物線只有一個交點，利用根的判別式可確定平移后所得直線的解析式,進而可得點的坐標,求出面積
設圓心為E，連接EQ，直線與x軸交點為H，與y軸交點為F；由已知可得直線與兩坐標軸交點的坐標，從而可得直線與坐標軸交點到原點的距離；由圓的切線及相似的知識可得出EQ、QH的長，
再由勾股定理可得要求的值
試題解析：（1）A(-1,0) ，B(2,3)
（2）平移直線AB得到直線L，當L與拋物線只有一個交點時，△ABP面積最大[如圖12-1（1）]

設直線L解析式為： ，
根據，得
判別式△，解得，
代入原方程中，得；解得，，
∴P（,）
易求，AB交軸于M（0，1），直線L交軸于G（0，）
過M作MN⊥直線L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°
∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°
在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，[如圖12-1（2）]
∴ MN=，MN即為△ABP的高
由兩點間距離公式，求得：AB=
故△ABP最大面積 
（3）設在直線上存在唯一一點Q使得∠OQC=90°
則點Q為以OC的中點E為圓心，OC為直徑形成的圓E與直線相切時的切點,[如圖12-2（1）]

由解析式可知：C（,0），OC=，則圓E的半徑：OE=CE==QE
設直線與、軸交于H點和F點，則F（0,1），∴OF=1  則H（,0）， ∴OH =  
∴ EH=
∵AB為切線  ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°
在△FOH和△EQH中   
∴△FOH∽△EQH
∴  ∴ 1：=：QH，∴QH =  
在RT△EQH中，EH=，QH =，QE =，根據勾股定理得，
+=
求得