Question

已知拋物線y=ax²-2ax與直線l：y=ax（a＞0）的交點除了原點O外，還相交于另一點A．
（1）分別求出這個拋物線的頂點、點A的坐標（可用含a的式子表示）；
（2）將拋物線y=ax²-2ax沿著x軸對折（翻轉180°）后，得到的圖象叫做“新拋物線”，則：①當a=1時，求這個“新拋物線”的解析式，并判斷這個“新拋物線”的頂點是否在直線l上；②在①的條件下，“新拋物線”上是否存在一點P，使點P到直線l的距離等于線段OA的

1

24

？若存在，請直接寫出滿足條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，即可求得這個拋物線的頂點坐標，又由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點坐標為（0，0）、（3，3a），即可求得點A的坐標；
（2）存在，①首先求得原拋物線為y=x²-2x，可得新拋物線為y=-x²+2x，直線L：x-y=0；
②首先設P點坐標為（b，-b²+2b），則有

|b+b2-2b|

2

=

3 2

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，即可求得b的值，則可得點P的坐標．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
∴拋物線的頂點坐標為（1，-a），
由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點坐標為（0，0）、（3，3a），
∴A點坐標為（3，3a）；

（2）存在一點P，使點P到直線l的距離等于線段OA的

1

24

，
理由如下：
①∴當a=1時，A坐標為（3，3），
∴OA=3

2

，
∴原拋物線為y=x²-2x，
則新拋物線為y=-x²+2x，直線L：x-y=0；
②設P點坐標為（b，-b²+2b），則有

|b+b2-2b|

2

=

3 2

24

，
即|b²-b|=|（b-

1

2

）²-

1

4

|=

1

4

，
∴（b-

1

2

）²=0或者（b-

1

2

）²=

1

2

，
解得b=

1

2

或b=

1+ 2

2

或b=

1- 2

2

，
∴P點坐標為（

1

2

，

3

4

）或（

1+ 2

2

，

1+2 2

4

）或（

1- 2

2

，

1-2 2

4

）．

點評：此題考查了二次函數的頂點坐標的求法，二次函數與一次函數的交點坐標問題，以及線段的長的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．