Question

【題目】如圖,在平面直角坐標中，拋物線y=ax2－2ax－3a(a≠0)與x軸交于A、B(A在B的左側)，與y軸交于點C,且OC=3OA.

（1）如圖（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖（2）動點P從點O出發，沿y軸正方向以每秒1個單位的速度移動，點D是拋物線頂點，連接PB、PD、BD，設點P運動時間為t（單位：秒），△PBD的面積為S，求S與t的函數關系式；

（3）如圖（3）在（2）的條件下，延長BP交拋物線于點Q，過點O作OE⊥BQ，垂足為E，連接CE、CB，若CE=CB，求t值，并求出此時的Q點坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）S=t+6；（3）t=；Q (， ).

【解析】試題分析：（1）令y=0，求出A、B的坐標，再由OC=3OA，得到a的值，即可得到結論；

（2）過B點作QR∥y軸，作PQ⊥DR，垂足為Q，過D點作DH∥x軸，交y軸于點H，交BR于點R．S△PDB=S矩形PQRH-(S△PQB+S△PDH+S△DBR)，代入相關數據即可得到結論；

（3）延長EO、BC相交于點F，過F作作FG⊥y軸，垂足為G，ON⊥AD，過Q作QH⊥x軸，垂足為H．可證明△FCG≌△BCO，得到CG=CO=3，FG=BO=3．在△GOF中，可得到tan∠FOG=．由∠OBE=∠FOG，得到tan∠OBE=，從而可求的t的值．

設點Q（m．m2-2m-3），則QH=m2-2m-3，BH=3-m，得到tan∠OBE= ，BH=2QH，3-m=2(m2-2m-3)，即可得到m的值，進而得到Q 的坐標．

試題解析：解：(1)令y=0，ax2－2ax－3a=0，a(x-3)(x+1)=0．∵a≠0，∴ ， ．∵A在B的左側，∴A(-1，0)，B(3，0)．∵OC=3OA=3，∴C(0，-3)，∴-3a=-3，∴a=1，

∴拋物線為：y=x2－2x－3．

(2)如圖（2）過B點作QR∥y軸，作PQ⊥DR，垂足為Q，過D點作DH∥x軸，交y軸于點H，交BR于點R．

∵D是拋物線定點，∴D(1，-4)．∵P(0，t)，B(3，0)，∴Q(3，t)，R(3，-4)，H(0，-3)，

∴PQ=3，BQ=t，BR=4，DR=2，DH=1，PH=t+4，∴S△PDB=S矩形PQRH-(S△PQB+S△PDH+S△DBR)

∴S=PH×PQ- (PQ×BQ+PH×DH+DR ×BR) =(t+4)×3- ([3×t+(t+4)×1+2×4]

∴ S=t+6．

（3）如圖（3），延長EO、BC相交于點F，過F作作FG⊥y軸，垂足為G，ON⊥AD，

過Q作QH⊥x軸，垂足為H．

∵OE⊥BQ，∴∠BEF=900．∵CE=CB，∴∠BEC=∠EBC．

∵∠BEC+∠CEF=900，∠EBC+∠BFE=900，∴∠CEF=∠BFE，∴CF=CE=CB．∵FG⊥y軸，∠FGC=∠BOC=900，∠FCG=∠BCO，∴△FCG≌△BCO，∴CG=CO=3，FG=BO=3．

在△GOF中，∠FGC=900，FG=3，OG=6，∴tan∠FOG=．

∵∠BOE+∠OBE=900．，∠BOEC+∠POE=900，∴∠OBE=∠POE，∠POE=∠FOG，∴∠OBE=∠FOG，∴tan∠OBE=，∴OP= =，∴t=．

設點Q（m．m2-2m-3），則QH=m2-2m-3，BH=3-m，∴tan∠OBE= ，BH=2QH，3-m=2(m2-2m-3)，∴m1=，m2=3(舍去)，∴m=，∴Q ()．