Question

已知：如圖， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF， AF相交于P，M．

（1）求證：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數量關系，并說明理由． 

Answer 1

解：（1）證明：∵AF平分∠BAC，

    ∴∠CAD=∠DAB=∠BAC．

∵D與A關于E對稱，∴E為AD中點．

∵BC⊥AD，∴BC為AD的中垂線，∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：證全等也可得到AC=CD

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．

∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．  注：證全等也可得到AC=AB

∴AB=CD．

（2）∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．

∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，          ∴∠MPC=∠CDA．          

∴∠MPF=∠CDM．              

∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．                    注：證全等也可得到CE=BE

∴AM為BC的中垂線，∴CM=BM．                  注：證全等也可得到CM=BM

∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三線合一）

∴∠CME=∠BME．              注：證全等也可得到∠CME=∠BME

∵∠BME=∠PMF，

∴∠PMF=∠CME，             

∴∠MCD=∠F（三角形內角和）． 注：證三角形相似也可得到∠MCD=∠F