Question

（2012•安徽）如圖，P是矩形ABCD內的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結論：
①S₁+S₂=S₃+S₄；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，則S₄=2S₂；④若S₁=S₂，則P點在矩形的對角線上．
其中正確的結論的序號是

②和④

（把所有正確結論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

分析：根據三角形面積求法以及矩形性質得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面積，以及

PF

PE

=

AB

AD

，

PF

CD

=

PE

BC

，即可得出P點一定在AC上．

解答：解：如右圖，過點P分別作PF⊥AD于點F，PE⊥AB于點E，
∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，
∴此時兩三角形的高的和為AB，即可得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面積；
同理可得出S₂+S₄=

1

2

矩形ABCD面積；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正確；
當點P在矩形的兩條對角線的交點時，S₁+S₂=S₃+S₄．但P是矩形ABCD內的任意一點，所以該等式不一定成立．故①不一定正確；
③若S₃=2S₁，只能得出△APD與△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故此選項錯誤；
④若S₁=S₂，

1

2

×PF×AD=

1

2

PE×AB，
∴△APD與△PBA高度之比為：

PF

PE

=

AB

AD

，
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴此時矩形AEPF與矩形ABCD位似，
∴

PF

CD

=

PE

BC

，
∴P點在矩形的對角線上．
故④選項正確，
故答案為：②和④．

點評：此題主要考查了矩形的性質以及三角形面積求法，根據已知得出

PF

CD

=

PE

BC

是解題關鍵．