Question

先請閱讀下列題目和解答過程:

“已知a,b,c為△ABC的三邊,且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,試判斷△ABC的形狀.

解:因為a²c²-b²c²=a⁴-b⁴①,

所以c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²)②,

所以c²=a²+b²③,

所以△ABC是直角三角形④.”

請解答下列問題:

(1)上列解答過程,從第幾步到第幾步出現錯誤?

(2)簡要分析出現錯誤的原因.

(3)寫出正確的解答過程.

Answer 1

【解析】(1)從第②步到第③步出錯.

(2)等號兩邊不能同除以a²-b²,因為它有可能為零.

(3)因為a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,

所以c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²),

移項得:c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0,

得(a²-b²)(c²-a²-b²)=0,

所以a²=b²或c²=a²+b²,

所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.