Question

（2009•江蘇）如圖，已知二次函數y=x²-2x-1的圖象的頂點為A．二次函數y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
（1）求點A與點C的坐標；
（2）當四邊形AOBC為菱形時，求函數y=ax²+bx的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函數y=ax²+bx的頂點在已知二次函數拋物線的對稱軸上，可知兩個函數對稱軸相等，因此先根據已知函數求出對稱軸． y=x²-2x-1=（x-1）²-2，所以頂點A的坐標為（1，-2）對稱軸為x=1，
所以二次函數y=ax²+bx關于x=1對稱，且函數與x軸的交點分別是原點和C點，
所以點C和點O關于直線l對稱，所以點C的坐標為（2，0）；
（2）因為四邊形AOBC是菱形，根據菱形性質，可以得出點O和點C關于直線AB對稱，點B和點A關于直線OC對稱，因此，可求出點B的坐標，點B的坐標為（1，2），
二次函數y=ax²+bx的圖象經過點B（1，2），C（2，0），將B，C代入解析式，可得，，
解得，所以二次函數y=ax²+bx的關系式為y=-2x²+4x．
解答：解：（1）∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴頂點A的坐標為（1，-2）．
∵二次函數y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
∴二次函數y=ax²+bx的對稱軸為：直線x=1，
∴點C和點O關于直線x=1對稱，
∴點C的坐標為（2，0）．

（2）因為四邊形AOBC是菱形，所以點B和點A關于直線OC對稱，
因此，點B的坐標為（1，2）．
因為二次函數y=ax²+bx的圖象經過點B（1，2），C（2，0），
所以，
解得，
所以二次函數y=ax²+bx的關系式為y=-2x²+4x．
點評：本題主要考查利用二次函數和菱形的對稱性求有關的點，再用待定系數法求二次函數解析式，是難度中等的考題．