Question

對于點(diǎn)O、M，點(diǎn)M沿MO的方向運(yùn)動到O左轉(zhuǎn)彎繼續(xù)運(yùn)動到N，使OM=ON，且OM⊥ON，這一過程稱為M點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)完成一次“左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動”．正方形ABCD和點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到P₁，P₁關(guān)于B左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到P₂，P₂關(guān)于C左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到P₃，P₃關(guān)于D左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到P₄，P₄關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到P₅，…．
（1）請你在圖中用直尺和圓規(guī)在圖中確定點(diǎn)P₁的位置；
（2）連接P₁A、P₁B，判斷△ABP₁與△ADP之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由．
（3）以D為原點(diǎn)、直線AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，并且已知點(diǎn)B在第二象限，A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）、（1，1），請你推斷：P₄、P₂₀₀₉、P₂₀₁₀三點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）用直尺和圓規(guī)作圖，作圖痕跡清晰；

（2）△ABP₁≌△ADP，且△ABP₁可看成是由△ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°而得．
理由如下：在△ABP₁和△ADP中，
由題意：AB=AD，AP=AP₁，∠PAD=∠P₁AB，
∴△ABP₁≌△ADP，
又∵△ABP₁和△ADP有公共頂點(diǎn)A，且∠PAP₁=90°，
∴△ABP₁可看成是由△ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°而得；

（3）點(diǎn)P（1，1）關(guān)于點(diǎn)A（0，4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到P₁（-3，3），
點(diǎn)P₁（-3，3）關(guān)于點(diǎn)B（-4，4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到點(diǎn)P₂（-5，3），
點(diǎn)P₂（-5，3）關(guān)于點(diǎn)C（-4，0）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到點(diǎn)P₃（-1，1），
點(diǎn)P₃（-1，1）關(guān)于點(diǎn)D（0，0）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到點(diǎn)P₄（1，1），
點(diǎn)P₄（1，1）關(guān)于點(diǎn)A（0，4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動到點(diǎn)P₅（-3，3），
點(diǎn)P₅與點(diǎn)P₁重合，點(diǎn)P₆與點(diǎn)P₂重合，點(diǎn)P₂₀₀₉的坐標(biāo)為（-3，3）
點(diǎn)P₂₀₁₀的坐標(biāo)為（-5，3）．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與“左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動”的定義，即可知首先作∠BAP₁=∠DAP，然后截取AP₁=AP即可求得P₁；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得AB=AD，AP=AP₁，∠PAD=∠P₁AB，則可證得△ABP₁≌△ADP，又由△ABP₁和△ADP有公共頂點(diǎn)A，且∠PAP₁=90°，即可得△ABP₁可看成是由△ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°而得；
（3）由題意，即可求得P₁，P₂，P₃，P₄的坐標(biāo)，即可得規(guī)律：各點(diǎn)的坐標(biāo)每四次一循環(huán)，即可求得P₄、P₂₀₀₉、P₂₀₁₀三點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定．此題考查了學(xué)生的動手能力，此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與找到規(guī)律：各點(diǎn)的坐標(biāo)每四次一循環(huán)．