Question

閱讀材料：
如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r₁，r₂，腰上的高為h，連接AP，則S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即：

1

2

AB•r1+

1

2

AC•r2=

1

2

AB•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）類比與推理
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”，即：已知等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r₁，r₂，r₃，等邊△ABC的高為h，試證明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（2）理解與應用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC內部是否存在一點O，點O到各邊的距離相等？

 

（填“存在”或“不存在”），若存在，請直接寫出這個距離r的值，r=

 

．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AP，BP，CP．根據三角形ABC的面積的兩種計算方法進行證明；
（2）根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等進行求作．

解答：證明：（1）連接AP，BP，CP．（2分）
則S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=S_△ABC，（4分）
即

1

2

AB•r3+

1

2

BC•r1+

1

2

AC•r2=

1

2

AB•h，（6分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴r₁+r₂+r₃=h（定值）；（8分）

（2）存在．（10分）
r=2．（12分）

點評：此題主要是考查了等邊三角形的性質、角平分線的性質以及三角形的面積公式．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．