Question

【題目】如圖1，在銳角△ABC中，D、E分別是AB、BC的中點，點F在AC上，且滿足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M.

（1）證明：DM=DA；

（2）如圖2，點G在BE上，且∠BDG=∠C，求證：△DEG∽△ECF；

（3）在圖2中，取CE上一點H，使得∠CFH=∠B，若BG=3，求EH的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EH= 3．

【解析】

（1）根據平行線性質得∠AMD=∠AFE，可證∠AMD=∠A，得DM=DA；（2）根據三角形中位線性質得DE∥AC，證∠DEG=∠C，∠GDE=∠FEC，可證△DEG∽△ECF；（3）證△BDG∽△BED，得，BD2=BGBE；證△EFH∽△ECF，得，EF2=EHEC，又可證四邊形DEFM是平行四邊形，故EF=DM=DA=BD，所以BGBE=EHEC，又BE=EC，故EH=BG．

解：（1）證明：如圖1所示，

∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）證明：如圖2所示，

∵D、E分別是AB、BC的中點，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，

∵∠AFE=∠A，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，

∴△DEG∽△ECF；

（3）如圖3所示，

∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴，

∴BD2=BGBE，

∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，

∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH，

又∵∠FEH=∠CEF，

∴△EFH∽△ECF，

∴，

∴EF2=EHEC，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四邊形DEFM是平行四邊形，

∴EF=DM=DA=BD，

∴BGBE=EHEC，

∵BE=EC，

∴EH=BG=3．