Question

【題目】如圖，直線AB分別交y軸、x軸于A、B兩點，OA=2，tan∠ABO=，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點．

（1）求直線AB和這個拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為D，求△ABD的面積；

（3）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN的長度l有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+2；（2） （3）當t=2時，MN的長度l有最大值，最大值是4．

【解析】（1）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=，OA=2，即=，

∴0B=4，∴A（0，2），B（4，0），

把A、B的坐標代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得：b=，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2，

設直線AB的解析式為y=kx+e，把A、B的坐標代入得： ，

解得：k=﹣，e=2，

所以直線AB的解析式是y=﹣x+2；

（2）過點D作DE⊥y軸于點E，

由（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

即D的坐標為（， ），則ED=，EO=，AE=EO﹣OA=，

S△ABD=S梯形DEOB﹣S△DEA﹣S△AOB=×（+4）×﹣××﹣×4×2=；

（3）由題可知，M、N橫坐標均為t．

∵M在直線AB：y=﹣x+2上，∴M（t，﹣t+2），

∵N在拋物線y=﹣x2+x+2上，∴M（t，﹣t2+t+2），

∵作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N，

∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣+2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，其中0＜t＜4，

∴當t=2時，MN最大=4，

所以當t=2時，MN的長度l有最大值，最大值是4．