Question

【題目】在中，D，E，F分別是三邊，，上的中點，連接，，，，已知．

（1）觀察猜想：如圖，當時，①四邊形的對角線與的數量關系是________；②四邊形的形狀是_______；

（2）數學思考：如圖，當時，（1）中的結論①，②是否發生變化？若發生變化，請說明理由；

（3）拓展延伸：如圖，將上圖的點A沿向下平移到點，使得，已知，分別為，的中點，求四邊形與四邊形的面積比．

Answer 1

【答案】（1）①，②平行四邊形；（2）結論①不變，結論②由平行四邊形變為菱形，理由詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據三角形中位線定理，即可得出，進而得解；由三角形中位線定理得出DE∥AC, ,即可判定為平行四邊形；

（2）由中位線定理得出，，，然后根據，得出，，即可判定平行四邊形是菱形；

（3）首先設，，根據等腰直角三角形的性質，得出，進而得出，然后由三角形中位線定理得，，經分析可知：，且和互相垂直平分，即可得出四邊形為正方形，又由，，，得出四邊形為矩形，即可得出面積比.

解：（1）①，②平行四邊形；

由已知條件和三角形中位線定理，得

又∵

∴

②由三角形中位線定理得，

DE∥AC, ,

∴四邊形是平行四邊形；

（2）結論①不變，結論②由平行四邊形變為菱形，

四邊形是菱形的理由是：

∵，都是的中位線，

∴，

∴四邊形是平行四邊形

∵是的中位線，

∴

∵

∴，

∴

∴平行四邊形是菱形．

（3）設，

當，是等腰直角三角形，

∴

∴

由三角形中位線定理得，，

∴，且和互相垂直平分

∴四邊形為正方形，

∵，EF⊥AD，

∴

∴

又∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

∴所求面積比為