Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，ED，DF，DE交AF于點(diǎn)G，且AE2＝EGED．求證：DE⊥EF．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

根據(jù)斜邊中線定理得出AE＝FE，再利用相似三角形的判定得出△AEG∽△DEA，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)解答即可．

證明：∵AF⊥BC，

∴∠AFB＝90°．

∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴AE＝FE．

∴∠EAF＝∠AFE．

∵AE2＝EGED，

∴．

∵∠AEG＝∠DEA，

∴△AEG∽△DEA．

∴∠EAG＝∠ADG．

∴∠AFE＝∠ADG．

∵∠AGD＝∠EGF，

∴∠DAG＝∠FEG．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC．

∴∠DAG＝∠AFB＝90°．

∴∠FEG＝90°．

∴DE⊥EF