Question

探索勾股定理時，我們發現“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決線段和（或差）的有關問題，這種方法稱為面積法．請你運用面積法求解下列問題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高．
（1）若BD=h，M是直線BC上的任意一點，M到AB、AC的距離分別為h₁，h₂．
A、若M在線段BC上，請你結合圖形①證明：h₁+h₂=h；
B、當點M在BC的延長線上時，h₁，h₂，h之間的關系為

 

．（請直接寫出結論，不必證明）
（2）如圖②，在平面直角坐標系中有兩條直線l₁：y=

3

4

x+6；l₂：y=-3x+6．若l₂上的一點M到l₁的距離是3，請你利用以上結論求解點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AM，由于S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，而EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，因此得到

1

2

AC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂，而AB=AC，因此即可證明結論；
（2）由題意可知，DE=DF=10，所以△EDF是等腰三角形，
當點M在線段EF上時，依據（1）中結論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為3，此時可求得M的坐標；
當點M在射線FE上時，依據（1）中結論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為9，此時可求得M的坐標故點M的坐標為．

解答：（1）證明：連接AM，
①∵S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，
∴

1

2

AC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂，
又∵AB=AC，
∴h=h₁+h₂，（2分）
h₁-h₂=h；（3分）
故答案為：h₁-h₂=h．

（2）由題意可知，DE=DF=10，
∴△EDF是等腰三角形，（4分）
當點M在線段EF上時，依據（1）中結論，
∵h=EO=6，
∴M到DF（即x軸）的距離也為3，
∴點M的縱坐標為3，此時可求得M（1，3），（6分）
當點M在射線FE上時，依據（1）中結論，
∵h=EO=6，∴M到DF（即x軸）的距離也為9，
∴點M的縱坐標為9，此時可求得M（-1，9），（8分）
故點M的坐標為（1，3）或（-1，9）．

點評：此題分別考查了全等三角形的性質與判定、等腰三角形的性質、一次函數的性質等知識，題目要求學生有較高的綜合解題能力，把幾何圖形的結論利用到函數圖象中解決問題．