Question

【題目】如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．

恒成立的結論有 ．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

試題分析：由已知條件運用等邊三角形的性質得到三角形全等，進而得到更多結論，然后運用排除法，對各個結論進行驗證從而確定最后的答案．

解：①∵正△ABC和正△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正確）；

②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP=60°，

∴∠QPC=∠BCA，

∴PQ∥AE，（故②正確）；

③∵△CDP≌△CEQ，

∴DP=QE，

∵△ADC≌△BEC

∴AD=BE，

∴AD﹣DP=BE﹣QE，

∴AP=BQ，（故③正確）；

④∵DE＞QE，且DP=QE，

∴DE＞DP，（故④錯誤）；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正確）．

∴正確的有：①②③⑤．

故答案為：①②③⑤．