Question

在平面直角坐標系中，A點的坐標為（0，4），C點的坐標為（10，0）．

（1）如圖①，若直線AB∥OC，AB上有一動點P，當P點的坐標為

 

時，有PO=PC；
（2）如圖②，若直線AB與OC不平行，則在過點A的直線y=-x+4上是否存在點P，
使∠OPC=90°，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P在直線y=kx+4上移動時，只存在一個點P使得∠OPC=90°，試求出此時y=kx+4中k的值是多少．

Answer 1

分析：（1）因為A點的坐標為（0，4），C點的坐標為（10，0），（5，4），直線AB∥OC，P在直線AB上，所以P的縱坐標為4，又因PO=PC，所以P在OC的垂直平分線上，所以P的橫坐標為5，即P（5，4）；
（2）因為∠OPC=90°，所以P在以OC為直徑的圓上，作PD⊥OC于D，因為P在過點A的直線y=-x+4上，所以可設P（x，-x+4），利用射影定理可得到PD²=OD•CD，即（-x+4）²=x（10-x），解之即可求出點P的坐標；
（3）因為點P在直線y=kx+4上移動時，只存在一個點P使得∠OPC=90°，所以需分兩種情況討論：
①當直線過二、四象限時，B、C重合，直線過點（10，0），把該點的坐標代入解析式即可求出k的值；
②當直線過一、三象限時，此時直線與圓相切，設圓心為D，則DP=5，DP⊥BP，即∠P=∠AOB=90°，可求出k的值．

解答：解：（1）（5，4）．

（2）如圖所示，
PD⊥OC于D，設P（x，-x+4），
PD²=OD•CD，（-x+4）²=x（10-x），
解得：x=1或8，
∴P（1，3）或P（8，-4）．



（3）分兩種情況：
①如圖Ⅰ，
則0=k×10+4，則k=-

2

5

；
②如圖Ⅱ，
易證明△AOB∽△DPB，
則

4

5

=

x2+42

-x+5

，得x=-

160

9

B（-

160

9

，0），k=

9

40

，
∴k=-

2

5

或

9

40

．

點評：解決本題這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．