Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O為△ABC的內切圓，點D是斜邊AB的中點，則tan∠ODA=

 

．

Answer 1

分析：如圖，因為∠C=90°，易得AB=10；又因為⊙O為△ABC的內切圓，易得四邊形OFCG是正方形，設半徑為x，列方程即可求得；進一步設AE=y，根據三角形內切圓的性質，即可求得y的值，則易得tan∠ODA．

解答：解：連接OE，OF，OG；
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵⊙O為△ABC的內切圓，
∴OG⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，AF=AE，CF=CG，
∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°；
∵∠C=90°，
∴四邊形OFCG是矩形，
∵OG=OF，
∴四邊形OFCG是正方形；
設OF=x，則CF=CG=OF=x，AF=AE=6-x，BE=BG=8-x，
∴6-x+8-x=10，
∴OF=2，
∴AE=AF=AC-CF=4；
∵點D是斜邊AB的中點，
∴AD=

1

2

AB=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴tan∠ODA=

OE

DE

=2．

點評：此題考查了三角形內切圓的性質．注意切線長定理．還要注意直角三角形的內切圓中，如果連接過切點的半徑，可以得到一個正方形，借助于方程即可求得半徑的長．