Question

【題目】問題發現：

（1）如圖①，在中，，，，點是的中點，點在邊上，將沿著折疊后得到，連接并使得最小，請畫出符合題意的點；

問題探究：

（2）如圖②，已知在和中，，，，連接，點是的中點，連接，求的最大值；

問題解決：

（3）西安大明宮遺址公園是世界文化遺產，全國重點文物保護單位，為了豐富同學們的課外學習生活，培養同學們的探究實踐能力，周末光明中學的張老師在家委會的協助下，帶領全班同學去大明宮開展研學活動．在公園開設的一處沙地考古模擬場地上，同學們參加了一次模擬考古游戲．張老師為同學們現場設計了一個四邊形的活動區域，如圖③所示，其中為一條工作人員通道，同學們的入口設在點處，，，，米．在上述條件下，小明想把寶物藏在距入口盡可能遠的處讓小鵬去找，請問小明的想法是否可以實現？如果可以，請求出的最大值及此時區域的面積，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見詳解；

（2）的最大值是：；

（3）的最大值為，此時區域的面積為.

【解析】

（1）根據題意判斷出點的運動軌跡即可得解；

（2）如圖②中，取的中點,連接即可求解；

（3）如圖③中，作的外接圓交于，連接，證明是等邊三角形，，由可以推出點的運動軌跡是圓弧，不妨設圓心為，連接則求出，即可求解.

（1） 是由沿著折疊后得到

點的運動軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓

要使最小，只能是當三點共線時

作圖如下所示：

（2）如圖②中，取的中點，連接

∵

∴

∴

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴的最大值是；

（3）如圖③中，作的外接圓交于，連接．

∵

∴

∴

∵

∴是等邊三角形,

∵

∴點的運動軌跡是圓弧，不妨設圓心為，連接則

作于，在中，

∴

∵

∴

在中，

∵，

∴

∴的最大值為，此時共線，如圖③﹣1中，作于

∵

∴

∴

∴