Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，經過點C的⊙O與斜邊AB相切于點P，AC=8，BC=6．

（1）當點O在AC上時，求證：2∠ACP=∠B；

（2）在（1）的條件下，求⊙O的半徑．

（3）若圓心O在△ABC之外，則CP的變化范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3；（3）＜CP≤8.

【解析】

（1）根據BC與AC垂直得到BC與圓相切，再由AB與圓O相切于點P，利用切線長定理得到BC=BP，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠ACP+∠BCP=90°，等量代換即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據AC與BC垂直，得到BC與圓O相切，連接OP，BO，再由AB與圓O相切，得到OP垂直于AB，在Rt△OAP中，應用勾股定理即可得到結論.

（3）設OC=x，則OP=x，OA=AC-OC=8-x，求出PA的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BO的長，根據BC=BP，OC=OP，得到BO垂直平分CP，根據面積法求出CP的長，由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長，即可確定出CP的范圍．

(1)∵BC⊥OC，且點C在⊙O上，

∴BC與⊙O相切．

∵⊙O與AB邊相切于點P，∴BC=BP，

∴∠BCP=∠BPC=(180°∠B) ，

∵∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-(180°∠B)=∠B．即2∠ACP=∠B；

(2) 連結OP

在Rt△ABC中，由勾股定理,求得AB=10.

∵BC、BA分別與⊙O切于C點、P點，

∴BP=BC=6，

∴AP=AB-BP=4，

在Rt△OAP中，OA=AC-OC=8-r，AP=4，OP=r，

∵OA2=OP2+PA2，

∴（8-r）2=r2+42，

∴r=3；

（3）＜CP≤8.

如圖，當點O在CB上時，OC為⊙O的半徑，

∵AC⊥OC，且點C在⊙O上，∴AC與⊙O相切，

連接OP、AO，

∵⊙O與AB邊相切于點P，∴OP⊥AB，

設OC=x，則OP=x，OB=BC-OC=6-x，

∵AC=AP，∴BP=AB-AP=10-8=2，

在△OPA中，∠OPA=90°，

根據勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6-x）2，解得：x=，

在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，∴AO=．

∵AC=AP，OC=OP，∴AO垂直平分CP.

∴根據面積法得：CP==，則符合條件的CP長大于．

由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長，

綜上，當點O在△ABC外時, ＜CP≤8．