Question

【題目】模型建立：

(1)如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．

求證：△BEC≌△CDA．

模型應用：

(2)已知直線l1：y=x+4與y軸交與A點，將直線l1繞著A點順時針旋轉45°至l2，如圖2，求l2的函數解析式．

(3)如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為(8，6)，A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC=m，已知點D在第一象限，且是直線y=2x-6上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰Rt△，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)y=x+4；(3)(4，2)，(，)，(，)．

【解析】

（1）先根據△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；

（2）過點B作BC⊥AB于點B，交l2于點C，過C作CD⊥x軸于D，根據∠BAC=45°可知△ABC為等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質得出C點坐標，利用待定系數法求出直線l2的函數解析式即可；

（3）當點D為直角頂點，分點D在矩形AOCB的內部與外部兩種情況；點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部，由此可得出結論．

(1)∵△ABC為等腰直角三角形，

∴CB=CA，

又∵AD⊥CD，BE⊥EC，

∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，

又∵∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ACD與△CBE中，

，

∴△ACD≌△EBC(AAS)；

(2)過點B作BC⊥AB于點B，交l2于點C，過C作CD⊥x軸于D，

如圖1，

∵∠BAC=45°，

∴△ABC為等腰Rt△，

由(1)可知：△CBD≌△BAO，

∴BD=AO，CD=OB，

∵直線l1：y=x+4，

∴A(0，4)，B(-3，0)，

∴BD=AO=4．CD=OB=3，

∴OD=4+3=7，

∴C(-7，3)，

設l2的解析式為y=kx+b(k≠0)，

∴，

∴，

∴l2的解析式：y=x+4；

(3)當點D位于直線y=2x-6上時，分兩種情況：

①點D為直角頂點，分兩種情況：

當點D在矩形AOCB的內部時，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D(x，2x-6)；

則OE=2x-6，AE=6-(2x-6)=12-2x，DF=EF-DE=8-x；

則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：

12-2x=8-x，x=4；

∴D(4，2)；

當點D在矩形AOCB的外部時，設D(x，2x-6)；

則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；

同1可知：△ADE≌△DPF，

∴AE=DF，即：2x-12=8-x，x=；

∴D(，)；

②點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部；

設點D(x，2x-6)，則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；

同(1)可得，△APB≌△PDF，

∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；

∴BF=PF-PB=8-(x-8)=16-x；

聯立兩個表示BF的式子可得：

2x-12=16-x，即x=；

∴D(，)；

綜合上面六種情況可得：存在符合條件的等腰直角三角形；

且D點的坐標為：(4，2)，(，)，(，)．