Question

對于平面直角坐標系中的任意兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我們把|x₁-x₂|+|y₁-y₂|叫做P₁、P₂兩點間的直角距離，記作d（P₁，P₂）．
（1）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；
（2）設P₀（x₀，y₀）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P₀，Q）的最小值叫做P₀到直線y=ax+b的直角距離．試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

解：（1）由題意，得|x|+|y|=1，
∵d（O，P）=1，O（0，0），P（x，y）
∴d（0，P）=|x|+|y|
∴|x|+|y|=1
①x≥0，y≥0
∴x+y=1
y=1-x
②x≤0，y≤0
∴-x-y=1
y=-x-1
③x≥0，y≤0
∴x-y=1
y=x-1
④x≤0，y≥0
∴-x+y=1
y=1+x
將四個函數關系式表示在數軸上，所有符合條件的點P組成的圖形如圖所示：
   
（2）∵d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，
又∵x可取一切實數，|x-2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和-1所對應的點的距離之和，其最小值為3．
∴點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3．
分析：（1）根據新的運算規則知|x|+|y|=1，據此可以畫出符合題意的圖形；
（2）根據新的運算規則知d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，然后由絕對值與數軸的關系可知，|x-2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和-1所對應的點的距離之和，其最小值為3．
點評：本題考查了一次函數綜合題．正確理解新定義運算法則是解題的關鍵．