Question

課題研究
（1）如圖（1），我們已經學習了直角三角形中的邊角關系，在Rt△ACD中，sin∠A=

 

，所以CD=

 

，而S_△ABC=

1

2

AB•CD，于是可將三角形面積公式變形，得S_△ABC=

 

．①其文字語言表述為：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．這就是我們將要在高中學習的正弦定理．
（2）如圖（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得

1

2

AC•BC•sin(α+β)=

1

2

AC•CD•sinα+

1

2

BC•CD•sinβ，即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
請你利用直角三角形邊角關系，消去②中的AC、BC、CD，將得到新的結論．并寫出解決過程．
（3）利用（2）中的結論，試求sin75°和sin105°的值，并比較其大．

Answer 1

分析：（1）根據銳角三角函數的概念進行填空即可；
（2）結合等式的性質和銳角三角函數的概念進行轉換；
（3）利用（2）中的結論，把75°和105°拆分成特殊角即可計算．

解答：解．（1）

CD

AC

，ACsinA，S△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠A；

（2）把AC•BC•sin(a+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ
兩邊同除以AC•BC，得
sin(α+β)=

CD

BC

•sinα+

CD

AC

•sinβ
在Rt△BCD和Rt△ACD中分別可得：
cosα=

CD

AC

，cosβ=

CD

BC

，
∴sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；

（3）sin75°=sin(30°+45°)=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 + 6

4

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°•cos45°+cos60°•sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 + 6

4

由此可見：sin75°=sin105°．

點評：掌握銳角三角函數的概念，熟記特殊角的銳角三角函數值．