Question

12、對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若a+c=0，方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根，則方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不等的實數根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個根，則一定有b²-4ac=（2am+b）²成立．
其中正確地只有（　　）

A、①②

B、②③

C、③④

D、①④

Answer 1

分析：①根據根的判別式即可作出判斷；
②方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根，則△=b²-4ac＞0，判斷方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不等的實數根，只要證明方程的判別式的值大于0即可；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，則代入即可作出判斷；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個根，即方程有實根，判別式△≥0，結合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判斷．

解答：解：①因為a+c=0，a≠0，所以①a、c異號，所以△=b²-4ac＞0，所以方程有兩個實數根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個不等的實數根，則△=b²-4ac＞0，所以方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不等的實數根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個根，當c=0時，ac+b+1=0不一定成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個根，所以有am²+bm+c=0，
即am²=-（bm+c），
而（2am+b）²=4a²m²+4abm+b²=4a[-（bm+c）]+4abm+b²=-4abm-4ac+b²=b²-4ac．
所以①④成立．
故選D．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用，此考點一直是中考中的一個經久不衰的老考點．