Question

【題目】《九章算術》中記載了這樣一道題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現代的語言表述為：“如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直徑AB的長為多少寸？”請你補全示意圖，并求出AB的長．

Answer 1

【答案】解：如圖所示，連接OD．
∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，
∴E為CD的中點，
又∵CD=10寸，
∴CE=DE= CD=5寸，
設OD=OA=x寸，則AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+DE2=OD2 ，
即（x﹣1）2+52=x2 ，
解得：x=13，
∴AB=26寸，
即直徑AB的長為26寸．

【解析】連接OD，由直徑AB與弦CD垂直，根據垂徑定理得到E為CD的中點，由CD的長求出DE的長，設OD=OA=x寸，則AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即可得出直徑AB的長．