Question

小明在研究四邊形的相關性質時發現，在不改變面積的條件下，一般梯形很難轉化為菱形，但有些特殊的梯形通過分割可以轉化為菱形．例如以下的等腰梯形就可以轉化為菱形（如圖1），已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=10，CD=20，∠C=60°．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）如果將該梯形分割成幾塊，然后可以重新拼成菱形，試畫出變化后的圖形（在圖1中畫出，圖形的對應部分標明相同的編號）；
（3）在完成上述任務后，他又試著將梯形的形狀變為直角梯形（如圖2），其它條件不變，將梯形分成幾塊．
①他能拼成一個菱形嗎？如果能，請在圖2中畫出相應的圖形；
②他能拼成一個正六邊形嗎？如果能，請在圖3中畫出相應的圖形．

Answer 1

分析：（1）因為等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=10，CD=20，∠C=60°，所以可過D作DE∥CD交于BC于E，因為AD∥BC，所以四邊形ABED是平行四邊形，所以DE=AB=CD=20，又因∠C=60°，可得△CDE是等邊三角形，所以CE=20，BC=10，梯形的高h=10

3

，然后利用梯形的面積公式即可求解；
（2）能拼成一個菱形，可分別過點A、D作梯形的高，將菱形分割成一個矩形和兩個全等的直角三角形，然后再利用矩形的對角線將其分割成兩個全等的直角三角形，這四個直角三角形都有一條直角邊為10，另一條直角邊為梯形的高，即它們都全等，進而以它們的斜邊為菱形的邊長即可拼接成所求圖形；
（3）能拼成菱形，利用直角梯形的與底不垂直的腰的中點E，連接BE，過E作BC的垂線，利用平移和旋轉就拼成了一個以AB為邊的菱形；能拼成正六邊形，利用腰CD的中點E，連接BE，以EC為一邊做等邊三角形，再作該等邊三角形的高，將它分割成三角形①、②，然后將這兩個三角形移到A、B處，使A、B處形成120度的角即可解決問題．

解答：解：（1）過D作DE∥AB交于BC于E，
∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴DE=AB=CD=20，
∵∠C=60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CE=20，BC=10，梯形的高h=10

3

，
∴S_梯=

(AD+BC)h

2

=

(10+30)•10 3

2

=200

3

；

（2）如圖1；

（3）如圖2和圖3．

點評：本題一方面考查了學生的動手操作能力，另一方面考查了學生的空間想象能力，重視知識的發生過程，讓學生體驗學習的過程．