Question

【題目】小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2

（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求y＝－2x2＋5x－3函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

小明是這樣思考的：由y＝－2x2＋5x－3函數(shù)可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根據(jù)a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

請參考小明的方法解決下面的問題：

（1）寫出函數(shù)y＝－2x2＋5x－3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

（2）若函數(shù)y1＝x2＋ x－n與y2＝－x2－mx－2互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m＋n）2019的值；

（3）已知函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖像與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝ (x－2)(x＋3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1） y＝2x2＋5x＋3 ;(2)1;(3)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題目中的條件直接可以寫出函數(shù)表達(dá)式（2）根據(jù)a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0的規(guī)律列出等式進(jìn)行計(jì)算即可（3）函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖像與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，進(jìn)而求出經(jīng)過對稱點(diǎn)的二次函數(shù)，通過“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的規(guī)律就可以證明兩函數(shù)是互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

（1） y＝2x2＋5x＋3 ;

.（2）∵y1＝x2＋x－n與y2＝－x2－mx－2互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，

∴解得

∴（m＋n）2019＝（3－2）2019 ＝1

（3）證明：當(dāng)x＝0時，y＝ (x－2)(x＋3)，則C（0，－3），

當(dāng)y＝0時， (x－2)(x＋3)＝0，解得x1=2，x2=－3，則A（2，0），B（－3，0），

∵點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，

∴A1（－2，0），B1（3，0），C1（0，3），

可求過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y＝－ (x＋2)(x－3)＝－x2＋x＋3…8分

y＝ (x－2)(x＋3)＝x2＋x－3

∵a1+a2＝＋(－)＝0，b1=b2=，c1+c2＝3＋(－3)＝0

∴經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝ (x－2)(x＋3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”