Question

我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質，如關于線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題：
（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S_{四邊形BCHG}，S_△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如答圖1，作出中位線DE，證明△AOC∽△DOE，可以證明結論；
（2）如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故點O與點Q重合，即點O為△ABC的重心；
（3）如答圖3，利用圖形的面積關系，以及相似線段間的比例關系，求出的表達式，這是一個二次函數，利用二次函數的性質求出其最大值．
解答：（1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長，交AB于點E．

∵點O是△ABC的重心，∴CE是中線，點E是AB的中點．
∴DE是中位線，
∴DE∥AC，且DE=AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴=2，
∵AD=AO+OD，
∴．

（2）答：點O是△ABC的重心．
證明：如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．

由（1）可知，=，
而，
∴點Q與點O重合（是同一個點），
∴點O是△ABC的重心．

（3）解：如答圖3所示，連接DG．

設S_△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，
∴S_△AOG=2S，S_△AGD=S_△GOD+S_△AGO=3S．
為簡便起見，不妨設AG=1，BG=x，則S_△BGD=3xS．
∴S_△ABD=S_△AGD+S_△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，
∴S_△ABC=2S_△ABD=（6x+6）S．
設OH=k•OG，由S_△AGO=2S，得S_△AOH=2kS，
∴S_△AGH=S_△AGO+S_△AOH=（2k+2）S．
∴S_{四邊形BCHG}=S_△ABC-S_△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．
∴==  ①
如答圖3，過點O作OF∥BC交AC于點F，過點G作GE∥BC交AC于點E，則OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴，
∴OF=CD=BC；
∵GE∥BC，
∴，
∴GE=；
∴=，
∴．
∵OF∥GE，
∴，
∴=，
∴k=，代入①式得：
===-x²+x+1=-（x-）²+，
∴當x=時，有最大值，最大值為．
點評：本題是幾何綜合題，以三角形的重心為背景，考查了重心的概念、性質以及應用，考查了相似三角形、中位線、圖形面積、二次函數最值等知識點．試題的難點在于第（3）問，如何求出的關系式是解題的關鍵；另外，第（3）問尚有多種不同的解法，同學們可以深入探究．