Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，過點B作BE//CD，交AC的延長線于點E，連接BC.

（1）求證：BE為⊙O的切線；
（2）若CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直徑.

Answer 1

（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可證AB⊥BE，從而可證BE為⊙O的切線；（2）7.5

試題分析：（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可證AB⊥BE，從而可證BE為⊙O的切線；
（2）由垂徑定理知：CM=CD，在Rt△BCM中，已知tan∠BCD和CM的值，可將BM，CM的值求出，由弧BC=弧BD，可知：∠BAC=∠BCD，在Rt△ACM中，根據三角函數可將AM的值求出，故⊙O的直徑為AB=AM+BM．
（1）∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴BE為⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CM=CD，弧BC=弧BD，CM=CD=3，
∴∠BAC=∠BCD．
∵tan∠BCD=，
∴BM=，
∵tan∠BCD=．
∴AM=6．
∴AB=AM+BM=7.5．
點評：本題知識點多，綜合性強，是中考常見題，一般難度不大，熟練掌握解直角三角形的運算能力是解題的關鍵.