Question

一節數學課后，老師布置了一道課后練習題：
如圖1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O為AC中點．
（1）如圖1，若把三角板的直角頂點放置于點O，兩直角邊分別與AB、BC交于點M、N，求證：BM=CN；
（2）若點P是線段AC上一動點，在射線BC上找一點D，使PD=PB，再過點D作BO的平行線，交直線AC于一點E，試在備用圖上探索線段ED和OP的關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OB，證明△MOB≌△NOC就可以得出BM=CN；
（2）根據條件要求當點D在線段BC上時和點D在BC的延長線上時分別作出圖形，如圖2，如圖3，證明△POB≌△DEP就可以得出結論．

解答：解：（1）證明：連結OB．
∵AB=BC，O為AC中點，
∴∠ABO=∠CBO，BO⊥AC．                   
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠A=∠C=45°，
∴∠ABO=∠C=∠CBO，
∴0B=OC．
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON．  
在△BOM和Rt△CON中

∠ABO=∠C 0B=OC ∠MOB=∠CON

，
∴△BOM≌Rt△CON（ASA），
∴BM=CN；

（2）OP=DE，OP⊥DE．理由如下：
①如圖2，若點P在線段AO上．
∵BO⊥AC，
∴∠BOC=90°．
∵OB∥DE，
∴∠POB=∠PED=90°，
∴OP⊥DE，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠C=45°，
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPC=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPC，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∠POB=∠PED ∠PBO=∠DPC PB=PD

，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE；
②若點P在線段CO上．
同理可證OP⊥DE，OP=DE，
∵OB∥DE，
∴∠OBC=∠BDE=45°．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°，
∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°，
∴∠APB=∠PDE．
在△BPO和△PDE中

∠APB=∠PDE  ∠BOP=∠PED PB=PD

，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE．
綜上所述：OP=DE，OP⊥DE．

點評：本題考查等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，垂直的性質的運用，平行線的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．