Question

【題目】如圖1，已知函數y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點A關于y軸對稱．

（1）求直線BC的函數解析式；

（2）設點M是x軸上的一個動點，過點M作y軸平行線，交直線AB于點P，交直線BC于點Q．

①若△PQB的面積為，求點M的坐標：

②在①的條件下，在直線PQ上找一點R，使得△MOR≌△MOQ，直接寫出點R的坐標；

（3）連接BM，如圖2．若∠BMP＝∠BAC，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①M（，0）或M（﹣，0）；②點R的坐標為（﹣，﹣﹣2）或（，﹣2）；（3）點P的坐標為（﹣，）或（，）

【解析】

（1）先確定出點B坐標和點A坐標，進而求出點C坐標，最后用待定系數法求出直線BC解析式；

（2）①先表示出PQ，最后用三角形面積公式即可得出結論；

②如圖2，當點M在y軸的左側時，當點M在y軸的右側時，如圖3，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（3）分點M在y軸左側和右側，由對稱得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，當∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程，即可得出結論．

（1）解：對于y＝x+2，

由x＝0得：y＝2，

∴B（0，2）

由y＝0得：y＝x+2＝0，解得x＝﹣6，

∴A（﹣6，0），

∵點C與點A關于y軸對稱，

∴C（6，0），

設直線BC的函數解析式為y＝kx+b

解得，

∴直線BC的函數解析式為y＝﹣x+2；

（2）解：①設M（m，0），

則P（m，m+2）、Q（m，﹣m+2），

如圖1，過點B作BD⊥PQ于點D，

∴PQ＝|（﹣m+2）﹣（m+2）|＝|m|，

BD＝|m|，

∴S△PQB＝PQBD＝×m2＝，

解得m＝，

∴M（，0）或M（﹣，0）；

②如圖2，當點M在y軸的左側時，

∵△MOR≌△MOQ，

∴MR＝MQ＝﹣×（﹣）+2＝+2，

∵R（﹣，﹣﹣2），

當點M在y軸的右側時，如圖3，

∵△MOR≌△MOQ，

∴MR＝MQ＝﹣×（）+2＝2﹣，

∵R（，﹣2），

綜上所述，點R的坐標為（﹣，﹣﹣2）或（，﹣2）；

（3）解：如圖2，當點M在y軸的左側時，

∵點C與點A關于y軸對稱

∴AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA

∵∠BMP＝∠BAC，

∴∠BMP＝∠BCA

∵∠BMP+∠BMC＝90°，

∴∠BMC+∠BCA＝90°，

∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，

∴BM2+BC2＝MC2，

設M（x，0），則P（x，x+2），

∴BM2＝OM2+OB2＝x2+4，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+22＝40，

∴x2+4+40＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，

∴P（﹣，），

當點M在y軸的右側時，如圖3，

同理可得P（，），

綜上，點P的坐標為（﹣，）或（，）．