Question

運用因式分解解決整除問題：
（1）99³-99能被100整除嗎？能被99整除嗎？
（2）81⁷-27⁹-9¹³能被45整除嗎？
（3）當n為整數時，證明：兩個連續奇數的平方差（2n+1）²-（2n-1）²是8的倍數；
（4）證明：若a為整數，（2a+1）²-1能被8整除。

Answer 1

解：（1）99³-99= 99（99²-1）=99（99+1）（99-1）=99×100×98，所以99³-99能被100、99整除；
（2）81⁷-27⁹-9¹³=（3⁴）⁷-（3³）⁹-（3²）¹³=3²⁸-3²⁷-3²⁶=3²⁶（3²-3-1）=3²⁶×5=3²⁴×3²×5=3²⁴×45，所以81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；
（3）（2n+1）²-（2n-1）²=[（2n+1）+（2n-1）]·[（2n+1）-（2n-1）]=4n×2=8n，所以兩個連續奇數的平方差是8的倍數；
（4）（2a+1）²-1=4a²+4a+1-1=4a²+4a=4a（a+1），當a為整數時，a與a+1中必有一個為偶數，
∴a（a+1）是偶數，
∴4a（a+1）能被8整除，即（2a+1）²-1能被8整除。