Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點M、N在邊BC上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，則MN的長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

利用旋轉作△APC，連接PC，根據旋轉得：△ABM≌△ACP，PC=BM=2，證明△MAN≌△PAN，則MN=PN，作高線PD，利用勾股定理計算PD和PN的長，可得結論．

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴△ABM繞點A逆時針旋轉120°至△APC，連接PN，

∴△ABM≌△APC，

∴∠B=∠ACP=30°，PC=BM=2，∠BAM=∠CAP，

∴∠NCP=60°，

∴∠CPD=30°.

∵∠MAN=60°，

∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠MAN，

∵AM=AP，AN=AN，

∴△MAN≌△PAN，

∴MN=PN，

過點P作BC的垂線，垂足為D，

∴CD=PC=1，DN=CN﹣CD=4﹣1=3，

∴PD=，

∴PN===2，

∴MN=PN=2．

故答案為：2．