Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在邊AB、邊BC上，DE⊥AF，DE與AF交于點O，將線段AE沿AF進行平移至FG，過點G作GH⊥AB的延長線于點H．

（1）判斷四邊形BFGH的形狀并證明；
（2）寫出圖中所有面積相等的圖形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAE=∠ABC=90°，

∵DE⊥AF，

∴∠AOE=90°，

∴∠BAF+∠AEO=90°，∠AEO+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAD，

在△ADE和△BAF中，

，

∴△ADE≌△BAD，

∴AE=BF，

∵AE=FG，

∴BF=FG，

∵GH⊥AH，FB⊥AH，

∴FB∥GH，

∵FG∥BH，

∴四邊形BFGH是平行四邊形，

∵∠FBH=90°，

∴四邊形BFGH是矩形，

∵FG=BF，

∴四邊形BFGH是正方形．

（2）解：圖中所有面積相等的圖形有：△ADE和△ABF，△ADO和四邊形EBFOD的面積相等．

【解析】（1）由平移的性質和正方形的性質可證出△ADE≌△BAF，AE=FG=BF，進而證出四邊形BFGH是正方形；（2）由△ADE≌△BAF，可得出它們面積相等，同時減去△AOE的面積，得到△ADO和四邊形EBFOD的面積相等.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對平移的性質的理解，了解①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等．